Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ AH vuông góc với BC. Ta cần chứng minh và tính toán các giá trị liên quan.

### Phần a: Chứng minh rằng \( AB^2 + CH^2 = AC^2 + BH^2 \)

1. **Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông:**
- Trong tam giác vuông ABC, ta có:
\[
AB^2 + AC^2 = BC^2
\]

2. **Xét tam giác vuông AHB và AHC:**
- Trong tam giác vuông AHB, ta có:
\[
AB^2 = AH^2 + BH^2
\]
- Trong tam giác vuông AHC, ta có:
\[
AC^2 = AH^2 + CH^2
\]

3. **Từ hai phương trình trên, ta có:**
- \( AB^2 = AH^2 + BH^2 \)
- \( AC^2 = AH^2 + CH^2 \)

4. **Trừ hai phương trình này:**
\[
AB^2 - AC^2 = (AH^2 + BH^2) - (AH^2 + CH^2)
\]
\[
AB^2 - AC^2 = BH^2 - CH^2
\]
\[
AB^2 + CH^2 = AC^2 + BH^2
\]

### Phần b: Giả sử \( AB = 6 \) cm, \( AC = 8 \) cm. Tính \( AH \), \( BH \), \( HC \)

1. **Tính \( BC \) bằng định lý Pythagoras:**
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]
\[
BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100
\]
\[
BC = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}
\]

2. **Tính \( AH \) bằng công thức diện tích:**
- Diện tích tam giác ABC:
\[
S = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \text{ cm}^2
\]
- Diện tích tam giác ABC cũng có thể tính bằng:
\[
S = \frac{1}{2} \times BC \times AH
\]
- Do đó:
\[
24 = \frac{1}{2} \times 10 \times AH
\]
\[
24 = 5 \times AH
\]
\[
AH = \frac{24}{5} = 4.8 \text{ cm}
\]

3. **Tính \( BH \) và \( HC \) bằng cách sử dụng các tam giác vuông nhỏ:**
- Trong tam giác vuông AHB:
\[
AB^2 = AH^2 + BH^2
\]
\[
6^2 = 4.8^2 + BH^2
\]
\[
36 = 23.04 + BH^2
\]
\[
BH^2 = 36 - 23.04 = 12.96
\]
\[
BH = \sqrt{12.96} = 3.6 \text{ cm}
\]

- Trong tam giác vuông AHC:
\[
AC^2 = AH^2 + CH^2
\]
\[
8^2 = 4.8^2 + CH^2
\]
\[
64 = 23.04 + CH^2
\]
\[
CH^2 = 64 - 23.04 = 40.96
\]
\[
CH = \sqrt{40.96} = 6.4 \text{ cm}
\]

Vậy, các giá trị cần tính là:
- \( AH = 4.8 \text{ cm} \)
- \( BH = 3.6 \text{ cm} \)
- \( HC = 6.4 \text{ cm} \)