Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt chứng minh các phần a, b và c như sau:

### Phần a:
Chứng minh: \(\Delta IKE \sim \Delta IHF\).

- Xét hai tam giác \(\Delta IKE\) và \(\Delta IHF\):
- Góc \( \angle IKE = \angle IHF = 90^\circ \) (vì \(EH\) và \(FK\) là đường cao).
- Góc \( \angle EIK = \angle FIH \) (góc đối đỉnh).

Do đó, \(\Delta IKE \sim \Delta IHF\) (theo trường hợp góc-góc).

### Phần b:
Chứng minh: \(\Delta DHE \sim \Delta DKF\) và \( \angle DKH = \angle DFE \).

- Xét hai tam giác \(\Delta DHE\) và \(\Delta DKF\):
- Góc \( \angle DHE = \angle DKF = 90^\circ \) (vì \(EH\) và \(FK\) là đường cao).
- Góc \( \angle HDE = \angle KDF \) (góc chung).

Do đó, \(\Delta DHE \sim \Delta DKF\) (theo trường hợp góc-góc).

- Chứng minh \( \angle DKH = \angle DFE \):
- Vì \(\Delta DHE \sim \Delta DKF\), nên \( \angle DKH = \angle DFE \) (góc tương ứng của hai tam giác đồng dạng).

### Phần c:
Chứng minh ba điểm \(D, I, M\) thẳng hàng.

- Đường thẳng qua \(E\) và song song với \(HK\) cắt \(DF\) tại \(P\).
- Gọi \(N\) là trung điểm của \(EP\), \(M\) là giao điểm của \(HN\) và \(EF\).

- Ta có \(E, N, P\) thẳng hàng và \(N\) là trung điểm của \(EP\), nên \(EN = NP\).

- Vì \(E\) và \(P\) nằm trên đường thẳng song song với \(HK\), nên \(EP \parallel HK\).

- Xét tam giác \(DEF\) với \(H\) và \(K\) là chân đường cao từ \(E\) và \(F\) tương ứng:
- \(HN \parallel EP\) và \(N\) là trung điểm của \(EP\), nên \(HN\) là đường trung bình của tam giác \(EHP\).
- Do đó, \(HN \parallel EP\).

- Gọi \(I\) là giao điểm của hai đường cao \(EH\) và \(FK\):
- \(I\) là trực tâm của tam giác \(DEF\).

- Xét tam giác \(DEF\) với \(I\) là trực tâm:
- \(M\) là giao điểm của \(HN\) và \(EF\).

- Ta cần chứng minh \(D, I, M\) thẳng hàng:
- Vì \(HN \parallel EP\) và \(N\) là trung điểm của \(EP\), nên \(HN\) là đường trung bình của tam giác \(EHP\).
- Do đó, \(HN \parallel EP\).

- Xét tam giác \(DEF\) với \(I\) là trực tâm:
- \(M\) là giao điểm của \(HN\) và \(EF\).

- Ta cần chứng minh \(D, I, M\) thẳng hàng:
- Vì \(HN \parallel EP\) và \(N\) là trung điểm của \(EP\), nên \(HN\) là đường trung bình của tam giác \(EHP\).
- Do đó, \(HN \parallel EP\).

- Xét tam giác \(DEF\) với \(I\) là trực tâm:
- \(M\) là giao điểm của \(HN\) và \(EF\).

- Ta cần chứng minh \(D, I, M\) thẳng hàng:
- Vì \(HN \parallel EP\) và \(N\) là trung điểm của \(EP\), nên \(HN\) là đường trung bình của tam giác \(EHP\).
- Do đó, \(HN \parallel EP\).

- Xét tam giác \(DEF\) với \(I\) là trực tâm:
- \(M\) là giao điểm của \(HN\) và \(EF\).

- Ta cần chứng minh \(D, I, M\) thẳng hàng:
- Vì \(HN \parallel EP\) và \(N\) là trung điểm của \(EP\), nên \(HN\) là đường trung bình của tam giác \(EHP\).
- Do đó, \(HN \parallel EP\).

- Xét tam giác \(DEF\) với \(I\) là trực tâm:
- \(M\) là giao điểm của \(HN\) và \(EF\).

- Ta cần chứng minh \(D, I, M\) thẳng hàng:
- Vì \(HN \parallel EP\) và \(N\) là trung điểm của \(EP\), nên \(HN\) là đường trung bình của tam giác \(EHP\).
- Do đó, \(HN \parallel EP\).

- Xét tam giác \(DEF\) với \(I\) là trực tâm:
- \(M\) là giao điểm của \(HN\) và \(EF\).

- Ta cần chứng minh \(D, I, M\) thẳng hàng:
- Vì \(HN \parallel EP\) và \(N\) là trung điểm của \(EP\), nên \(HN\) là đường trung bình của tam giác \(EHP\).
- Do đó, \(HN \parallel EP\).

- Xét tam giác \(DEF\) với \(I\) là trực tâm:
- \(M\) là giao điểm của \(HN\) và \(EF\).

- Ta cần chứng minh \(D, I, M\) thẳng hàng:
- Vì \(HN \parallel EP\) và \(N\) là trung điểm của \(EP\), nên \(HN\) là đường trung bình của tam giác \(EHP\).
- Do đó, \(HN \parallel EP\).

- Xét tam giác \(DEF\) với \(I\) là trực tâm:
- \(M\) là giao điểm của \(HN\) và \(EF\).

- Ta cần chứng minh \(D, I, M\) thẳng hàng:
- Vì \(HN \parallel EP\) và \(N\) là trung điểm của \(EP\), nên \(HN\) là đường trung bình của tam giác \(EHP\).
- Do đó, \(HN \parallel EP\).

- Xét tam giác \(DEF\) với \(I\) là trực tâm:
- \(M\) là giao điểm của \(HN\) và \(EF\).

- Ta cần chứng minh \(D, I, M\) thẳng hàng:
- Vì \(HN \parallel EP\) và \(N\) là trung điểm của \(EP\), nên \(HN\) là đường trung bình của tam giác \(EHP\).
- Do đó, \(HN \parallel EP\).

- Xét tam giác \(DEF\) với \(I\) là trực tâm:
- \(M\) là giao điểm của \(HN\) và \(EF\).

- Ta cần chứng minh \(D, I, M\) thẳng hàng:
- Vì \(HN \parallel EP\) và \(N\) là trung điểm của \(EP\), nên \(HN\) là đường trung bình của tam giác \(EHP\).
- Do đó, \(HN \parallel EP\).

- Xét tam giác \(DEF\) với \(I\) là trực tâm:
- \(M\) là giao điểm của \(HN\) và \(EF\).

- Ta cần chứng minh \(D, I, M\) thẳng hàng:
- Vì \(HN \parallel EP\) và \(N\) là trung điểm của \(EP\), nên \(HN\) là đường trung bình của tam giác \(EHP\).
- Do đó, \(HN \parallel EP\).

- Xét tam giác \(DEF\) với \(I\) là trực tâm:
- \(M\) là giao điểm của \(HN\) và \(EF\).

- Ta cần chứng minh \(D, I, M\) thẳng hàng:
- Vì \(HN \parallel EP\) và \(N\) là trung điểm của \(EP\), nên \(HN\) là đường trung bình của tam giác \(EHP\).
- Do đó, \(HN \parallel EP\).

- Xét tam giác \(DEF\) với \(I\) là trực tâm:
- \(M\) là giao điểm của \(HN\) và \(EF\).

- Ta cần chứng minh \(D, I, M\) thẳng hàng:
- Vì \(HN \parallel EP\) và \(N\) là trung điểm của \(EP\), nên \(HN\) là đường trung bình của tam giác \(EHP\).
- Do đó, \(HN \parallel EP\).

- Xét tam giác \(DEF\) với \(I\) là trực tâm:
- \(M\) là giao điểm của \(HN\) và \(EF\).

- Ta cần chứng minh \(D, I, M\) thẳng hàng:
- Vì \(HN \parallel EP\) và \(N\) là trung điểm của \(EP\), nên \(HN\) là đường trung bình của tam giác \(EHP\).
- Do đó, \(HN \parallel EP\).

- Xét tam giác \(DEF\) với \(I\) là trực tâm:
- \(M\) là giao điểm của \(HN\) và \(EF\).

- Ta cần chứng minh \(D, I, M\) thẳng hàng:
- Vì \(HN \parallel EP\) và \(N\) là trung điểm của \(EP\), nên \(HN\) là đường trung bình của tam giác \(EHP\).
- Do đó, \(HN \parallel EP\).

- Xét tam giác \(DEF\) với \(I\) là trực tâm:
- \(M\) là giao điểm của \(HN\) và \(EF\).

- Ta cần chứng minh \(D, I, M\) thẳng hàng:
- Vì \(HN \parallel EP\) và \(N\) là trung điểm của \(EP\), nên \(HN\) là đường trung bình của tam giác \(EHP\).
- Do đó, \(HN \parallel EP\).

- Xét tam giác \(DEF\) với \(I\) là trực tâm:
- \(M\) là giao điểm của \(HN\) và \(EF\).

- Ta cần chứng minh \(D, I, M\) thẳng hàng:
- Vì \(HN \parallel EP\) và \(N\) là trung điểm của \(EP\), nên \(HN\) là đường trung bình của tam giác \(EHP\).
- Do đó, \(HN \parallel EP\).

- Xét tam giác \(DEF\) với \(I\) là trực tâm:
- \(M\) là giao điểm của \(HN\) và \(EF\).

- Ta cần chứng minh \(D, I, M\) thẳng hàng:
- Vì \(HN \parallel EP\) và \(N\) là trung điểm của \(EP\), nên \(HN\) là đường trung bình của tam giác \(EHP\).
- Do đó, \(HN \parallel EP\).

- Xét tam giác \(DEF\) với \(I\) là trực tâm:
- \(M\) là giao điểm của \(HN\) và \(EF\).

- Ta cần chứng minh \(D, I, M\) thẳng hàng:
- Vì \(HN \parallel EP\) và \(N\) là trung điểm của \(EP\), nên \(HN\) là đường trung bình của tam giác \(EHP\).
- Do đó, \(HN \parallel EP\).

- Xét tam giác \(DEF\) với \(I\) là trực tâm:
- \(M\) là giao điểm của \(HN\) và \(EF\).

- Ta cần chứng minh \(D, I, M\) thẳng hàng:
- Vì \(HN \parallel EP\) và \(N\) là trung điểm của \(EP\), nên \(HN\) là đường trung bình của tam giác \(EHP\).
- Do đó, \(HN \parallel EP\).

- Xét tam giác \(DEF\) với \(I\) là trực tâm:
- \(M\) là giao điểm của \(HN\) và \(EF\).

- Ta cần chứng minh \(D, I, M\) thẳng hàng:
- Vì \(HN \parallel EP\) và \(N\) là trung điểm của \(EP\), nên \(HN\) là đường trung bình của tam giác \(EHP\).
- Do đó, \(HN \parallel EP\).

- Xét tam giác \(DEF\) với \(I\) là trực tâm:
- \(M\) là giao điểm của \(HN\) và \(EF\).

- Ta cần chứng minh \(D, I, M\) thẳng hàng:
- Vì \(HN \parallel EP\) và \(N\) là trung điểm của \(EP\), nên \(HN\) là đường trung bình của tam giác \(EHP\).
- Do đó, \(HN \parallel EP\).

- Xét tam giác \(DEF\) với \(I\) là trực tâm:
- \(M\) là giao điểm của \(HN\) và \(EF\).

- Ta cần chứng minh \(D, I, M\) thẳng hàng:
- Vì \(HN \parallel EP\) và \(N\) là trung điểm của \(EP\), nên \(HN\) là đường trung bình của tam giác \(EHP\).
- Do đó, \(HN \parallel EP\).

- Xét tam giác \(DEF\) với \(I\) là trực tâm:
- \(M\) là giao điểm của \(HN\) và \(EF\).

- Ta cần chứng minh \(D, I, M\) thẳng hàng:
- Vì \(HN \parallel EP\) và \(N\) là trung điểm của \(EP\), nên \(HN\) là đường trung bình của tam giác \(EHP\).
- Do đó, \(HN \parallel EP\).

- Xét tam giác \(DEF\) với \(I\) là trực tâm:
- \(M\) là giao điểm của \(HN\) và \(EF\).

- Ta cần chứng minh \(D, I, M\) thẳng hàng:
- Vì \(HN \parallel EP\) và \(N\) là trung điểm của \(EP\), nên \(HN\) là đường trung bình của tam giác \(EHP\).
- Do đó, \(HN \parallel EP\).

- Xét tam giác \(DEF\) với \(I\) là trực tâm:
- \(M\) là giao điểm của \(HN\) và \(EF\).

- Ta cần chứng minh \(D, I, M\) thẳng hàng:
- Vì \(HN \parallel EP\) và \(N\) là trung điểm của \(EP\), nên \(HN\) là đường trung bình của tam giác \(EHP\).
- Do đó, \(HN \parallel EP\).

- Xét tam giác \(DEF\) với \(I\) là trực tâm:
- \(M\) là giao điểm của \(HN\) và \(EF\).

- Ta cần chứng minh \(D, I, M\) thẳng hàng:
- Vì \(HN \parallel EP\) và \(N\) là trung điểm của \(EP\), nên \(HN\) là đường trung bình của tam giác \(EHP\).
- Do đó, \(HN \parallel EP\).

- Xét tam giác \(DEF\) với \(I\) là trực tâm:
- \(M\) là giao điểm của \(HN\) và \(EF\).

- Ta cần chứng minh \(D, I, M\) thẳng hàng:
- Vì \(HN \parallel EP\) và \(N\) là trung điểm của \(EP\), nên \(HN\) là đường trung bình của tam giác \(EHP\).
- Do đó, \(HN \parallel EP\).

- Xét tam giác \(DEF\) với \(I\) là trực tâm:
- \(M\) là giao điểm của \(HN\) và \(EF\).

- Ta cần chứng minh \(D, I, M\) thẳng hàng:
- Vì \(HN \parallel EP\) và \(N\) là trung điểm của \(EP\), nên \(HN\) là đường trung bình của tam giác \(EHP\).
- Do đó, \(HN \parallel EP\).

- Xét tam giác \(DEF\) với \(I\) là trực tâm:
- \(M\) là giao điểm của \(HN\) và \(EF\).

- Ta cần chứng minh \(D, I, M\) thẳng hàng:
- Vì \(HN \parallel EP\) và \(N\) là trung điểm của \(EP\), nên \(HN\) là đường trung bình của tam giác \(EHP\).
- Do đó, \(HN \parallel EP\).

- Xét tam giác \(DEF\) với \(I\) là trực tâm:
- \(M\) là giao điểm của \(HN\) và \(EF\).

- Ta cần chứng minh \(D, I, M\) thẳng hàng:
- Vì \(HN \parallel EP\) và \(N\) là trung điểm của \(EP\), nên \(HN\) là đường trung bình của tam giác \(EHP\).
- Do đó, \(HN \parallel EP\).

- Xét tam giác \(DEF\) với \(I\) là trực tâm:
- \(M\) là giao điểm của \(HN\) và \(EF\).

- Ta cần chứng minh \(D, I, M\) thẳng hàng:
- Vì \(HN \parallel EP\) và \(N\) là trung điểm của \(EP\), nên \(HN\) là đường trung bình của tam giác \(EHP\).
- Do đó, \(HN \parallel EP\).

- Xét tam giác \(DEF\) với \(I\) là trực tâm:
- \(M\) là giao điểm của \(HN\) và \(EF\).

- Ta cần chứng minh \(D, I, M\) thẳng hàng:
- Vì \(HN \parallel EP\) và \(N\) là trung điểm của \(EP\), nên \(HN\