Để chứng minh tứ giác BNMC là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối của tứ giác này song song và bằng nhau.

1. **Tính chất của điểm G:**
- G là trọng tâm của tam giác ABC, do đó G chia mỗi đường trung tuyến thành hai đoạn, trong đó đoạn từ đỉnh đến trọng tâm bằng 2/3 chiều dài đường trung tuyến, và đoạn từ trọng tâm đến trung điểm của cạnh đối diện bằng 1/3 chiều dài đường trung tuyến.

2. **Tính chất của điểm D và E:**
- D là trung điểm của GM, do đó \( \overrightarrow{GD} = \frac{1}{2} \overrightarrow{GM} \).
- E là trung điểm của GN, do đó \( \overrightarrow{GE} = \frac{1}{2} \overrightarrow{GN} \).

3. **Chứng minh BN song song và bằng MC:**
- Xét vector \( \overrightarrow{BN} \) và \( \overrightarrow{MC} \):
\[
\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{BG} + \overrightarrow{GN}
\]
\[
\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GC}
\]
- Vì \( G \) là trọng tâm của tam giác ABC, ta có:
\[
\overrightarrow{BG} = \frac{2}{3} \overrightarrow{BD}, \quad \overrightarrow{GC} = \frac{2}{3} \overrightarrow{CE}
\]
- Sử dụng tính chất trung điểm:
\[
\overrightarrow{GN} = 2 \overrightarrow{GE}, \quad \overrightarrow{GM} = 2 \overrightarrow{GD}
\]
- Thay vào các biểu thức trên:
\[
\overrightarrow{BN} = \frac{2}{3} \overrightarrow{BD} + 2 \overrightarrow{GE}
\]
\[
\overrightarrow{MC} = 2 \overrightarrow{GD} + \frac{2}{3} \overrightarrow{CE}
\]
- Vì \( D \) là trung điểm của \( GM \) và \( E \) là trung điểm của \( GN \), ta có:
\[
\overrightarrow{GD} = \frac{1}{2} \overrightarrow{GM}, \quad \overrightarrow{GE} = \frac{1}{2} \overrightarrow{GN}
\]
- Do đó:
\[
\overrightarrow{BN} = \frac{2}{3} \overrightarrow{BD} + 2 \left( \frac{1}{2} \overrightarrow{GN} \right) = \frac{2}{3} \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{GN}
\]
\[
\overrightarrow{MC} = 2 \left( \frac{1}{2} \overrightarrow{GM} \right) + \frac{2}{3} \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{GM} + \frac{2}{3} \overrightarrow{CE}
\]
- Vì \( \overrightarrow{GN} = \overrightarrow{GM} \), ta có:
\[
\overrightarrow{BN} = \frac{2}{3} \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{GM}
\]
\[
\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{GM} + \frac{2}{3} \overrightarrow{CE}
\]

4. **Chứng minh BN song song và bằng MC:**
- Ta thấy rằng \( \overrightarrow{BN} \) và \( \overrightarrow{MC} \) có cùng độ dài và cùng hướng, do đó:
\[
\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{MC}
\]
- Điều này chứng tỏ rằng BN song song và bằng MC.

5. **Chứng minh BM song song và bằng NC:**
- Tương tự, ta có thể chứng minh rằng \( \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{NC} \).

Vậy, tứ giác BNMC có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, do đó BNMC là hình bình hành.