Để giải các phương trình sau, chúng ta cần thực hiện các bước biến đổi đại số để tìm nghiệm của phương trình. Dưới đây là lời giải cho 10 câu đầu tiên:

1. \(\frac{1}{x+1} - \frac{5}{x-2} = \frac{3x}{(x+1)(x-2)}\)

Quy đồng mẫu số và giải phương trình:
\[
\frac{(x-2) - 5(x+1)}{(x+1)(x-2)} = \frac{3x}{(x+1)(x-2)}
\]
\[
\frac{x - 2 - 5x - 5}{(x+1)(x-2)} = \frac{3x}{(x+1)(x-2)}
\]
\[
\frac{-4x - 7}{(x+1)(x-2)} = \frac{3x}{(x+1)(x-2)}
\]
\[
-4x - 7 = 3x
\]
\[
-7x = 7
\]
\[
x = -1
\]

2. \(\frac{2}{x+1} - \frac{1}{x-2} = \frac{3x-11}{(x+1)(x-2)}\)

Quy đồng mẫu số và giải phương trình:
\[
\frac{2(x-2) - (x+1)}{(x+1)(x-2)} = \frac{3x-11}{(x+1)(x-2)}
\]
\[
\frac{2x - 4 - x - 1}{(x+1)(x-2)} = \frac{3x-11}{(x+1)(x-2)}
\]
\[
\frac{x - 5}{(x+1)(x-2)} = \frac{3x-11}{(x+1)(x-2)}
\]
\[
x - 5 = 3x - 11
\]
\[
-2x = -6
\]
\[
x = 3
\]

3. \(\frac{2}{x-2} - \frac{3}{3-x} = \frac{3x-20}{(x-3)(x-2)}\)

Lưu ý rằng \(3-x = -(x-3)\):
\[
\frac{2}{x-2} + \frac{3}{x-3} = \frac{3x-20}{(x-3)(x-2)}
\]
Quy đồng mẫu số và giải phương trình:
\[
\frac{2(x-3) + 3(x-2)}{(x-2)(x-3)} = \frac{3x-20}{(x-2)(x-3)}
\]
\[
\frac{2x - 6 + 3x - 6}{(x-2)(x-3)} = \frac{3x-20}{(x-2)(x-3)}
\]
\[
\frac{5x - 12}{(x-2)(x-3)} = \frac{3x-20}{(x-2)(x-3)}
\]
\[
5x - 12 = 3x - 20
\]
\[
2x = -8
\]
\[
x = -4
\]

4. \(\frac{2x-6}{x+1} + \frac{2x+2}{x-3} = \frac{3x^2+4x+1}{(x+1)(x-3)}\)

Quy đồng mẫu số và giải phương trình:
\[
\frac{(2x-6)(x-3) + (2x+2)(x+1)}{(x+1)(x-3)} = \frac{3x^2+4x+1}{(x+1)(x-3)}
\]
\[
\frac{2x^2 - 6x - 6x + 18 + 2x^2 + 2x + 2}{(x+1)(x-3)} = \frac{3x^2+4x+1}{(x+1)(x-3)}
\]
\[
\frac{4x^2 - 10x + 20}{(x+1)(x-3)} = \frac{3x^2+4x+1}{(x+1)(x-3)}
\]
\[
4x^2 - 10x + 20 = 3x^2 + 4x + 1
\]
\[
x^2 - 14x + 19 = 0
\]
Giải phương trình bậc hai:
\[
x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 76}}{2}
\]
\[
x = \frac{14 \pm \sqrt{120}}{2}
\]
\[
x = \frac{14 \pm 2\sqrt{30}}{2}
\]
\[
x = 7 \pm \sqrt{30}
\]

5. \(\frac{1}{x} - \frac{5}{x+1} = \frac{3x+1}{x(x+1)}\)

Quy đồng mẫu số và giải phương trình:
\[
\frac{(x+1) - 5x}{x(x+1)} = \frac{3x+1}{x(x+1)}
\]
\[
\frac{x + 1 - 5x}{x(x+1)} = \frac{3x+1}{x(x+1)}
\]
\[
\frac{-4x + 1}{x(x+1)} = \frac{3x+1}{x(x+1)}
\]
\[
-4x + 1 = 3x + 1
\]
\[
-7x = 0
\]
\[
x = 0
\]
Nhưng \(x = 0\) không phải là nghiệm hợp lệ vì mẫu số bằng 0. Vậy phương trình vô nghiệm.

6. \(\frac{7}{(x-4)(x-2)} + \frac{1}{x-4} = \frac{2-x}{x-2}\)

Quy đồng mẫu số và giải phương trình:
\[
\frac{7 + (x-2)}{(x-4)(x-2)} = \frac{2-x}{x-2}
\]
\[
\frac{7 + x - 2}{(x-4)(x-2)} = \frac{2-x}{x-2}
\]
\[
\frac{x + 5}{(x-4)(x-2)} = \frac{2-x}{x-2}
\]
\[
\frac{x + 5}{(x-4)(x-2)} = \frac{-(x-2)}{x-2}
\]
\[
x + 5 = -(x-2)(x-4)
\]
\[
x + 5 = -x^2 + 6x - 8
\]
\[
x^2 - 5x + 13 = 0
\]
Giải phương trình bậc hai:
\[
x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 52}}{2}
\]
\[
x = \frac{5 \pm \sqrt{-27}}{2}
\]
Phương trình vô nghiệm thực.

7. \(\frac{2}{x} - \frac{3}{x^2+1} = \frac{5x+6}{x(x^2+1)}\)

Quy đồng mẫu số và giải phương trình:
\[
\frac{2(x^2+1) - 3x}{x(x^2+1)} = \frac{5x+6}{x(x^2+1)}
\]
\[
\frac{2x^2 + 2 - 3x}{x(x^2+1)} = \frac{5x+6}{x(x^2+1)}
\]
\[
2x^2 + 2 - 3x = 5x + 6
\]
\[
2x^2 - 8x - 4 = 0
\]
Giải phương trình bậc hai:
\[
x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 32}}{4}
\]
\[
x = \frac{8 \pm \sqrt{96}}{4}
\]
\[
x = \frac{8 \pm 4\sqrt{6}}{4}
\]
\[
x = 2 \pm \sqrt{6}
\]

8. \(\frac{x+2}{4} + \frac{x+3}{9} = \frac{x^2+5x+6}{36}\)

Quy đồng mẫu số và giải phương trình:
\[
\frac{9(x+2) + 4(x+3)}{36} = \frac{x^2+5x+6}{36}
\]
\[
\frac{9x + 18 + 4x + 12}{36} = \frac{x^2+5x+6}{36}
\]
\[
\frac{13x + 30}{36} = \frac{x^2+5x+6}{36}
\]
\[
13x + 30 = x^2 + 5x + 6
\]
\[
x^2 - 8x - 24 = 0
\]
Giải phương trình bậc hai:
\[
x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 96}}{2}
\]
\[
x = \frac{8 \pm \sqrt{160}}{2}
\]
\[
x = \frac{8 \pm 4\sqrt{10}}{2}
\]
\[
x = 4 \pm 2\sqrt{10}
\]

9. \(\frac{x+2}{x-2} - \frac{8}{x-4} = \frac{x-8}{x-4}\)

Quy đồng mẫu số và giải phương trình:
\[
\frac{(x+2)(x-4) - 8(x-2)}{(x-2)(x-4)} = \frac{x-8}{x-4}
\]
\[
\frac{x^2 - 2x - 8 - 8x + 16}{(x-2)(x-4)} = \frac{x-8}{x-4}
\]
\[
\frac{x^2 - 10x + 8}{(x-2)(x-4)} = \frac{x-8}{x-4}
\]
\[
x^2 - 10x + 8 = (x-8)(x-2)
\]
\[
x^2 - 10x + 8 = x^2 - 10x + 16
\]
\[
8 = 16
\]
Phương trình vô nghiệm.

10. \(\frac{x+6}{4} - \frac{x-3}{x} = \frac{x^2+3x-18}{4x}\)

Quy đồng mẫu số và giải phương trình:
\[
\frac{x(x+6) - 4(x-3)}{4x} = \frac{x^2+3x-18}{4x}
\]
\[
\frac{x^2 + 6x - 4x + 12}{4x} = \frac{x^2+3x-18}{4x}
\]
\[
\frac{x^2 + 2x + 12}{4x} = \frac{x^2+3x-18}{4x}
\]
\[
x^2 + 2x + 12 = x^2 + 3x - 18
\]
\[
2x + 12 = 3x - 18
\]
\[
-x = -30
\]
\[
x = 30
\]

Hy vọng lời giải trên giúp bạn hiểu rõ cách giải các phương trình này.