Để tính chiều cao \( AH \) của tam giác vuông \( ABC \) với \( \angle A = 90^\circ \), ta có thể sử dụng định lý Pythagore và công thức tính diện tích tam giác.

1. **Sử dụng định lý Pythagore:**
Tam giác \( ABC \) là tam giác vuông tại \( A \), nên:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]
Với \( AB = 6 \) cm và \( AC = 8 \) cm, ta có:
\[
BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100
\]
\[
BC = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}
\]

2. **Tính diện tích tam giác \( ABC \):**
Diện tích tam giác \( ABC \) có thể tính bằng hai cách:
- Sử dụng hai cạnh góc vuông:
\[
S = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \text{ cm}^2
\]
- Sử dụng cạnh đáy \( BC \) và chiều cao \( AH \):
\[
S = \frac{1}{2} \times BC \times AH = \frac{1}{2} \times 10 \times AH
\]

3. **Tìm chiều cao \( AH \):**
Từ hai công thức diện tích, ta có:
\[
24 = \frac{1}{2} \times 10 \times AH
\]
\[
24 = 5 \times AH
\]
\[
AH = \frac{24}{5} = 4.8 \text{ cm}
\]

Vậy, chiều cao \( AH \) của tam giác \( ABC \) là \( 4.8 \) cm.