Cho tg ABC cân tại A trên cạnh BC lấy điểm D trên tia đối của CB lấy điểm E sao cho BD = CE các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB và AC lần lượt ở M và N. CMR: a) BM = CN. b) BC < MN

Để chứng minh \( BC < MN \), chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học và các định lý liên quan đến tam giác cân và các đường vuông góc.

**Giả thiết:**
- Tam giác \( ABC \) cân tại \( A \).
- Điểm \( D \) nằm trên tia đối của \( CB \) sao cho \( BD = CE \).
- Các đường thẳng vuông góc với \( BC \) kẻ từ \( D \) và \( E \) cắt \( AB \) và \( AC \) lần lượt tại \( M \) và \( N \).

**Chứng minh:**

1. **Xét tam giác \( ABD \) và tam giác \( ACE \):**
- Vì \( BD = CE \) (giả thiết).
- Tam giác \( ABC \) cân tại \( A \), nên \( AB = AC \).

2. **Xét các đường vuông góc từ \( D \) và \( E \) đến \( BC \):**
- Gọi \( H \) là giao điểm của đường vuông góc từ \( D \) đến \( BC \).
- Gọi \( K \) là giao điểm của đường vuông góc từ \( E \) đến \( BC \).
- Do \( D \) và \( E \) nằm trên các tia đối của \( CB \), nên \( H \) và \( K \) nằm trên \( BC \).

3. **Xét các đoạn \( DH \) và \( EK \):**
- Vì \( D \) và \( E \) nằm trên các tia đối của \( CB \), nên \( DH \) và \( EK \) là các đoạn vuông góc từ \( D \) và \( E \) đến \( BC \).
- Do đó, \( DH \) và \( EK \) là các đoạn thẳng bằng nhau (vì \( BD = CE \)).

4. **Xét các đoạn \( BM \) và \( CN \):**
- \( BM \) và \( CN \) là các đoạn thẳng từ \( B \) và \( C \) đến các điểm \( M \) và \( N \) trên các đường thẳng vuông góc từ \( D \) và \( E \) đến \( BC \).
- Do \( AB = AC \) và các đường thẳng vuông góc từ \( D \) và \( E \) đến \( BC \) cắt \( AB \) và \( AC \) tại \( M \) và \( N \), nên \( BM = CN \).

5. **Xét đoạn \( MN \):**
- \( MN \) là đoạn thẳng nối hai điểm \( M \) và \( N \) trên các đường thẳng vuông góc từ \( D \) và \( E \) đến \( BC \).
- Do \( D \) và \( E \) nằm trên các tia đối của \( CB \), nên \( M \) và \( N \) nằm ngoài đoạn \( BC \).

6. **So sánh \( BC \) và \( MN \):**
- Vì \( M \) và \( N \) nằm ngoài đoạn \( BC \), nên đoạn \( MN \) phải dài hơn đoạn \( BC \).

**Kết luận:**
\[ BC < MN \]

Điều này chứng minh rằng đoạn \( MN \) lớn hơn đoạn \( BC \).