Để tìm nghiệm của phương trình \( x^2 + 2x + y^2 - 6y + 10 = 0 \), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Hoàn thiện bình phương** cho các biến \( x \) và \( y \).

Đầu tiên, ta hoàn thiện bình phương cho \( x \):
\[ x^2 + 2x = (x + 1)^2 - 1 \]

Tiếp theo, ta hoàn thiện bình phương cho \( y \):
\[ y^2 - 6y = (y - 3)^2 - 9 \]

Thay các biểu thức đã hoàn thiện bình phương vào phương trình ban đầu:
\[ (x + 1)^2 - 1 + (y - 3)^2 - 9 + 10 = 0 \]

Rút gọn phương trình:
\[ (x + 1)^2 + (y - 3)^2 - 1 - 9 + 10 = 0 \]
\[ (x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 0 \]

2. **Phân tích phương trình**:

Phương trình \( (x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 0 \) chỉ có nghiệm khi và chỉ khi cả hai biểu thức bên trong dấu bình phương đều bằng 0, vì tổng của hai số không âm chỉ bằng 0 khi cả hai số đều bằng 0.

Do đó:
\[ (x + 1)^2 = 0 \]
\[ (y - 3)^2 = 0 \]

Giải các phương trình này:
\[ x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \]
\[ y - 3 = 0 \Rightarrow y = 3 \]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
\[ x = -1 \]
\[ y = 3 \]

Kết luận:
\[ x = -1, y = 3 \]