Để rút gọn biểu thức \((x + 2y + 37)(x - 2y + 37)(x + 2y + 37)(x - 2y + 37)\), chúng ta có thể làm theo các bước sau:

1. Nhóm các cặp giống nhau:
\[
[(x + 2y + 37)(x - 2y + 37)] \cdot [(x + 2y + 37)(x - 2y + 37)]
\]

2. Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương cho mỗi cặp:
\[
(x + 2y + 37)(x - 2y + 37) = (x + 2y + 37)^2 - (2y)^2
\]
\[
= (x + 37)^2 - (2y)^2
\]

3. Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương lần nữa:
\[
(x + 37)^2 - (2y)^2 = (x + 37 + 2y)(x + 37 - 2y)
\]

4. Nhân hai biểu thức đã rút gọn:
\[
[(x + 37)^2 - (2y)^2] \cdot [(x + 37)^2 - (2y)^2]
\]

5. Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương một lần nữa:
\[
[(x + 37)^2 - (2y)^2] = (x + 37 + 2y)(x + 37 - 2y)
\]

6. Kết quả cuối cùng:
\[
[(x + 37)^2 - (2y)^2] \cdot [(x + 37)^2 - (2y)^2] = [(x + 37)^2 - (2y)^2]^2
\]

Vậy biểu thức đã rút gọn là:
\[
[(x + 37)^2 - (2y)^2]^2
\]