Tính giá trị của biểu thức M

Để tính giá trị của biểu thức \( M \), ta cần sử dụng điều kiện đã cho:

\[
\frac{xy}{x+y} = \frac{yz}{y+z} = \frac{zx}{z+x}
\]

Gọi giá trị chung của các phân số này là \( k \), ta có:

\[
\frac{xy}{x+y} = k \implies xy = k(x+y)
\]
\[
\frac{yz}{y+z} = k \implies yz = k(y+z)
\]
\[
\frac{zx}{z+x} = k \implies zx = k(z+x)
\]

Ta có hệ phương trình:

\[
xy = k(x+y)
\]
\[
yz = k(y+z)
\]
\[
zx = k(z+x)
\]

Cộng ba phương trình này lại:

\[
xy + yz + zx = k(x+y) + k(y+z) + k(z+x)
\]

\[
xy + yz + zx = k(2x + 2y + 2z)
\]

\[
xy + yz + zx = 2k(x + y + z)
\]

Do đó:

\[
k = \frac{xy + yz + zx}{2(x + y + z)}
\]

Tiếp theo, ta tính giá trị của biểu thức \( M \):

\[
M = \frac{x^2 + 2y^2 + 3z^2}{(x + 2y + 3z)^2}
\]

Để đơn giản hóa, ta cần tìm mối quan hệ giữa \( x, y, z \). Từ điều kiện ban đầu, ta có thể giả sử \( x = y = z \) (vì các phân số đều bằng nhau và các số đều khác 0). Giả sử \( x = y = z = 1 \), ta có:

\[
M = \frac{1^2 + 2 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1^2}{(1 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1)^2} = \frac{1 + 2 + 3}{(1 + 2 + 3)^2} = \frac{6}{6^2} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}
\]

Vậy giá trị của biểu thức \( M \) là \( \boxed{\frac{1}{6}} \).