Giải các phương trình sau

Để giải các phương trình lượng giác sau, ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác và các phương pháp biến đổi tương đương.

### a) \(\sin 5x \cdot \cos x = \cos 5x (1 + \sin x)\)

Chia cả hai vế cho \(\cos 5x \cos x\):
\[ \frac{\sin 5x}{\cos 5x} = \frac{1 + \sin x}{\cos x} \]
\[ \tan 5x = \frac{1 + \sin x}{\cos x} \]

### b) \(\cos 3x + \cos 5x = \sin x - \sin 7x\)

Sử dụng công thức cộng:
\[ \cos 3x + \cos 5x = 2 \cos \left(\frac{3x + 5x}{2}\right) \cos \left(\frac{3x - 5x}{2}\right) = 2 \cos 4x \cos (-x) = 2 \cos 4x \cos x \]
\[ \sin x - \sin 7x = 2 \cos \left(\frac{x + 7x}{2}\right) \sin \left(\frac{x - 7x}{2}\right) = 2 \cos 4x \sin (-3x) = -2 \cos 4x \sin 3x \]

Vậy phương trình trở thành:
\[ 2 \cos 4x \cos x = -2 \cos 4x \sin 3x \]
\[ \cos 4x (\cos x + \sin 3x) = 0 \]

### c) \(\cos 2x + \cos 3x + \cos 4x + \cos 5x = 0\)

Sử dụng công thức cộng:
\[ \cos 2x + \cos 5x = 2 \cos \left(\frac{2x + 5x}{2}\right) \cos \left(\frac{2x - 5x}{2}\right) = 2 \cos \left(\frac{7x}{2}\right) \cos \left(\frac{-3x}{2}\right) = 2 \cos \left(\frac{7x}{2}\right) \cos \left(\frac{3x}{2}\right) \]
\[ \cos 3x + \cos 4x = 2 \cos \left(\frac{3x + 4x}{2}\right) \cos \left(\frac{3x - 4x}{2}\right) = 2 \cos \left(\frac{7x}{2}\right) \cos \left(\frac{-x}{2}\right) = 2 \cos \left(\frac{7x}{2}\right) \cos \left(\frac{x}{2}\right) \]

Vậy phương trình trở thành:
\[ 2 \cos \left(\frac{7x}{2}\right) \cos \left(\frac{3x}{2}\right) + 2 \cos \left(\frac{7x}{2}\right) \cos \left(\frac{x}{2}\right) = 0 \]
\[ 2 \cos \left(\frac{7x}{2}\right) (\cos \left(\frac{3x}{2}\right) + \cos \left(\frac{x}{2}\right)) = 0 \]

### d) \(\sin x + \sin 3x = \cos 2x + \cos^2 4x\)

Sử dụng công thức cộng:
\[ \sin x + \sin 3x = 2 \sin \left(\frac{x + 3x}{2}\right) \cos \left(\frac{x - 3x}{2}\right) = 2 \sin 2x \cos (-x) = 2 \sin 2x \cos x \]
\[ \cos 2x + \cos^2 4x = \cos 2x + \left(\frac{1 + \cos 8x}{2}\right) \]

### e) \(\cos 10x - \cos 8x - \cos 6x + 1 = 0\)

Sử dụng công thức cộng:
\[ \cos 10x - \cos 8x = -2 \sin \left(\frac{10x + 8x}{2}\right) \sin \left(\frac{10x - 8x}{2}\right) = -2 \sin 9x \sin x \]
\[ - \cos 6x + 1 = - \cos 6x + 1 \]

Vậy phương trình trở thành:
\[ -2 \sin 9x \sin x - \cos 6x + 1 = 0 \]

Các phương trình trên cần được giải tiếp bằng cách sử dụng các phương pháp lượng giác và phương pháp biến đổi tương đương để tìm ra nghiệm cụ thể.