Để giải các bài toán này, ta cần sử dụng các định lý trong tam giác vuông, đặc biệt là định lý Pythagore và các hệ thức lượng trong tam giác vuông.

### a) Tính BH, CH khi AB = 3cm, AC = 4cm

1. **Tính BC:**
Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABC:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}
\]

2. **Tính BH và CH:**
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:
\[
BH = \frac{AB^2}{BC} = \frac{3^2}{5} = \frac{9}{5} = 1.8 \text{ cm}
\]
\[
CH = \frac{AC^2}{BC} = \frac{4^2}{5} = \frac{16}{5} = 3.2 \text{ cm}
\]

### b) Tính AH, HC khi AB = 6cm, BC = 10cm

1. **Tính AC:**
Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABC:
\[
AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \text{ cm}
\]

2. **Tính AH và HC:**
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{6 \cdot 8}{10} = \frac{48}{10} = 4.8 \text{ cm}
\]
\[
HC = \frac{AC^2}{BC} = \frac{8^2}{10} = \frac{64}{10} = 6.4 \text{ cm}
\]

### c) Tính AC, BC khi AH = 4cm, AB = 6cm

1. **Tính AC:**
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:
\[
AH^2 = AB \cdot AC \Rightarrow AC = \frac{AH^2}{AB} = \frac{4^2}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} \text{ cm}
\]

2. **Tính BC:**
Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABC:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + \left(\frac{8}{3}\right)^2} = \sqrt{36 + \frac{64}{9}} = \sqrt{\frac{324 + 64}{9}} = \sqrt{\frac{388}{9}} = \frac{\sqrt{388}}{3} \approx 6.6 \text{ cm}
\]

Vậy là ta đã tính được các độ dài cần thiết trong các bài toán trên.