Để tính độ dài các đoạn thẳng AB, BH, AC, BC trong tam giác ABC, ta có thể sử dụng các công thức lượng giác và định lý sin, cos.

1. **Tính độ dài cạnh BC:**

Sử dụng công thức diện tích tam giác:
\[ S = \frac{1}{2} \times BC \times AH \]
\[ S = \frac{1}{2} \times BC \times 6 \]

Diện tích tam giác cũng có thể tính bằng công thức:
\[ S = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin(\angle BAC) \]

Tuy nhiên, trước tiên ta cần tính góc A:
\[ \angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 40^\circ - 35^\circ = 105^\circ \]

Sử dụng định lý sin:
\[ \frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)} = \frac{AC}{\sin(\angle B)} \]

Do đó:
\[ BC = \frac{AH}{\sin(\angle A)} = \frac{6}{\sin(105^\circ)} \]

Tính giá trị:
\[ \sin(105^\circ) = \sin(180^\circ - 75^\circ) = \sin(75^\circ) \]
\[ \sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(45^\circ)\sin(30^\circ) \]
\[ \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \]
\[ \sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \]

Do đó:
\[ BC = \frac{6}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{6 \times 4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{24}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \]

Rationalize the denominator:
\[ BC = \frac{24 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{24 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{24 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = 6 (\sqrt{6} - \sqrt{2}) \]

2. **Tính độ dài các cạnh còn lại:**

Sử dụng định lý sin:
\[ \frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)} = \frac{AC}{\sin(\angle B)} \]

\[ AB = BC \times \frac{\sin(\angle C)}{\sin(\angle A)} \]
\[ AC = BC \times \frac{\sin(\angle B)}{\sin(\angle A)} \]

Tính giá trị:
\[ \sin(40^\circ) \approx 0.6428 \]
\[ \sin(35^\circ) \approx 0.5736 \]

\[ AB = 6 (\sqrt{6} - \sqrt{2}) \times \frac{0.5736}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} \]
\[ AC = 6 (\sqrt{6} - \sqrt{2}) \times \frac{0.6428}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} \]

3. **Tính độ dài BH:**

Sử dụng định lý cos:
\[ BH = AB \times \cos(\angle B) \]

Tính giá trị:
\[ \cos(40^\circ) \approx 0.766 \]

\[ BH = AB \times 0.766 \]

Làm tròn kết quả đến hàng phần mười của centimét.

Do các phép tính trên khá phức tạp, bạn có thể sử dụng máy tính để tính toán chính xác hơn.