Để chứng minh bất đẳng thức \( A^2 + AB + B^2 \geq 0 \) với mọi \( A \) và \( B \), chúng ta có thể sử dụng phương pháp phân tích biểu thức thành các phần tử dễ xử lý hơn.

Xét biểu thức \( A^2 + AB + B^2 \):

1. **Phương pháp phân tích thành bình phương hoàn chỉnh:**

Ta có thể viết lại biểu thức \( A^2 + AB + B^2 \) dưới dạng bình phương hoàn chỉnh. Cụ thể:

\[
A^2 + AB + B^2 = A^2 + AB + \frac{B^2}{4} + \frac{3B^2}{4}
\]

Nhóm các hạng tử lại:

\[
= \left( A^2 + AB + \frac{B^2}{4} \right) + \frac{3B^2}{4}
\]

Ta nhận thấy rằng \( A^2 + AB + \frac{B^2}{4} \) có thể viết lại thành bình phương hoàn chỉnh:

\[
A^2 + AB + \frac{B^2}{4} = \left( A + \frac{B}{2} \right)^2
\]

Do đó, biểu thức ban đầu trở thành:

\[
A^2 + AB + B^2 = \left( A + \frac{B}{2} \right)^2 + \frac{3B^2}{4}
\]

2. **Xét tính không âm của các thành phần:**

- \(\left( A + \frac{B}{2} \right)^2\) là bình phương của một số thực, nên luôn không âm: \(\left( A + \frac{B}{2} \right)^2 \geq 0\).
- \(\frac{3B^2}{4}\) là một số không âm vì \( B^2 \geq 0 \) và \(\frac{3}{4}\) là một hằng số dương.

Tổng của hai số không âm luôn không âm, do đó:

\[
\left( A + \frac{B}{2} \right)^2 + \frac{3B^2}{4} \geq 0
\]

Suy ra:

\[
A^2 + AB + B^2 \geq 0
\]

Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng \( A^2 + AB + B^2 \geq 0 \) với mọi \( A \) và \( B \).