Chứng minh tứ giác BMNC là hình thang cân và tứ giác APOM là hình thang cân

Chúng ta sẽ giải từng bài một theo thứ tự từ bài 2 đến bài 6.

### Bài 2:
**Cho tam giác ABC đều, cạnh a. O là điểm nằm trong tam giác, từ O kẻ các đường thẳng MN // BC (M thuộc AB, N thuộc AC); PQ // AB (P thuộc AC, Q thuộc BC); EF // AC (E thuộc AB, F thuộc BC). Chứng minh tứ giác BMNC và tứ giác APOM là hình thang cân.**

**Giải:**

1. **Chứng minh tứ giác BMNC là hình thang cân:**
- Vì MN // BC và tam giác ABC đều nên MN // BC và MN = BC.
- Do đó, BM và CN là hai cạnh bên của hình thang BMNC.
- Trong tam giác đều, các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác đều sẽ tạo ra các đoạn thẳng bằng nhau và đối xứng nhau qua trung điểm của các cạnh.
- Do đó, BM = CN.
- Vậy tứ giác BMNC là hình thang cân.

2. **Chứng minh tứ giác APOM là hình thang cân:**
- Vì PQ // AB và tam giác ABC đều nên PQ // AB và PQ = AB.
- Do đó, AP và OM là hai cạnh bên của hình thang APOM.
- Trong tam giác đều, các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác đều sẽ tạo ra các đoạn thẳng bằng nhau và đối xứng nhau qua trung điểm của các cạnh.
- Do đó, AP = OM.
- Vậy tứ giác APOM là hình thang cân.

### Bài 3:
**Vẽ hình và chứng minh.**

**Giải:**

1. **Vẽ hình:**
- Vẽ tam giác ABC đều.
- Chọn điểm O nằm trong tam giác ABC.
- Kẻ các đường thẳng MN // BC (M thuộc AB, N thuộc AC).
- Kẻ các đường thẳng PQ // AB (P thuộc AC, Q thuộc BC).
- Kẻ các đường thẳng EF // AC (E thuộc AB, F thuộc BC).

2. **Chứng minh:**
- Đã chứng minh ở bài 2.

### Bài 4:
**Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Lấy điểm D, E sao cho AD = DE = EM. Chứng minh 3 đường thẳng BE, AC, DF đồng quy.**

**Giải:**

1. **Vẽ hình:**
- Vẽ tam giác ABC.
- Vẽ trung tuyến AM.
- Lấy điểm D, E sao cho AD = DE = EM.

2. **Chứng minh:**
- Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
- Vì AD = DE = EM, nên D và E chia đoạn AM thành 3 phần bằng nhau.
- Do đó, D là trung điểm của đoạn AG và E là trung điểm của đoạn GM.
- Theo định lý Ceva, ba đường thẳng BE, AC, DF đồng quy tại trọng tâm G.

### Bài 5:
**Vẽ hình và chứng minh.**

**Giải:**

1. **Vẽ hình:**
- Vẽ tam giác ABC.
- Vẽ trung tuyến AM.
- Lấy điểm D, E sao cho AD = DE = EM.

2. **Chứng minh:**
- Đã chứng minh ở bài 4.

### Bài 6:
**Cho tam giác ABC, hai đường trung tuyến BM, CN. Trên BC lấy điểm D, E sao cho BD = DE = EC. AE cắt BM tại H, AE cắt CN tại K. Chứng minh H là trung điểm của BM.**

**Giải:**

1. **Vẽ hình:**
- Vẽ tam giác ABC.
- Vẽ hai đường trung tuyến BM và CN.
- Trên BC lấy điểm D, E sao cho BD = DE = EC.
- Vẽ đường thẳng AE cắt BM tại H và cắt CN tại K.

2. **Chứng minh:**
- Vì BD = DE = EC, nên D và E chia đoạn BC thành 3 phần bằng nhau.
- Do đó, D là trung điểm của đoạn BE và E là trung điểm của đoạn EC.
- Theo định lý Ceva, ba đường thẳng AE, BM, CN đồng quy tại trọng tâm G của tam giác ABC.
- Vì H là giao điểm của AE và BM, nên H là trung điểm của BM.

Hy vọng các giải thích trên sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về các bài toán này.