Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau:

### a) Chứng minh \( ax \parallel by \)

Ta có \( ax \perp m \) và \( by \perp m \). Theo định lý về hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba, ta có:
\[ ax \parallel by \]

### b) Tính số đo \( \angle CBx \)

Ta biết rằng \( \angle BCD = 62^\circ \). Vì \( ax \parallel by \) và \( CD \) là đường cắt ngang, nên:
\[ \angle DCB = \angle CBx = 62^\circ \]

### c) Vẽ tia \( Bt \) là tia phân giác của \( \angle CBx \). Từ \( C \) kẻ đường thẳng vuông góc với \( Bt \) tại \( M \). Chứng minh tia \( CM \) là tia phân giác của \( \angle BCy \).

1. Vẽ tia \( Bt \) là tia phân giác của \( \angle CBx \), do đó:
\[ \angle CBt = \angle tBx = 31^\circ \]

2. Từ \( C \) kẻ đường thẳng vuông góc với \( Bt \) tại \( M \), ta có:
\[ \angle BCM = \angle MCB = 31^\circ \]

3. Vì \( CM \perp Bt \) và \( Bt \) là tia phân giác của \( \angle CBx \), nên \( CM \) cũng là tia phân giác của \( \angle BCy \).

Vậy ta đã chứng minh được rằng tia \( CM \) là tia phân giác của \( \angle BCy \).

### Kết luận:
- \( ax \parallel by \)
- \( \angle CBx = 62^\circ \)
- Tia \( CM \) là tia phân giác của \( \angle BCy \)