Giải hệ phương trình sau

Để giải các hệ phương trình này, chúng ta sẽ sử dụng các phương pháp giải hệ phương trình như thế phương pháp thế, phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp đặt ẩn phụ.

### a)
\[
\begin{cases}
\frac{5x + 4y}{xy} = 2 \\
30x - 20y - xy = 0
\end{cases}
\]

**Phương trình 1:**
\[
\frac{5x + 4y}{xy} = 2 \implies 5x + 4y = 2xy \implies 5x + 4y - 2xy = 0 \quad (1)
\]

**Phương trình 2:**
\[
30x - 20y - xy = 0 \quad (2)
\]

Từ phương trình (2), ta có:
\[
xy = 30x - 20y \quad (3)
\]

Thay (3) vào (1):
\[
5x + 4y - 2(30x - 20y) = 0 \implies 5x + 4y - 60x + 40y = 0 \implies -55x + 44y = 0 \implies 44y = 55x \implies y = \frac{55}{44}x = \frac{5}{4}x
\]

Thay \( y = \frac{5}{4}x \) vào (3):
\[
x \left(\frac{5}{4}x\right) = 30x - 20\left(\frac{5}{4}x\right) \implies \frac{5}{4}x^2 = 30x - 25x \implies \frac{5}{4}x^2 = 5x \implies x^2 = 4x \implies x(x - 4) = 0
\]

Vậy \( x = 0 \) hoặc \( x = 4 \).

Nếu \( x = 0 \) thì \( y = 0 \) (loại vì không thỏa mãn phương trình ban đầu).

Nếu \( x = 4 \) thì \( y = \frac{5}{4} \cdot 4 = 5 \).

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( (x, y) = (4, 5) \).

### b)
\[
\begin{cases}
10x + 5y = 2xy \\
20x - 15y + xy = 0
\end{cases}
\]

**Phương trình 1:**
\[
10x + 5y = 2xy \implies 2xy - 10x - 5y = 0 \quad (1)
\]

**Phương trình 2:**
\[
20x - 15y + xy = 0 \quad (2)
\]

Từ phương trình (2), ta có:
\[
xy = -20x + 15y \quad (3)
\]

Thay (3) vào (1):
\[
2(-20x + 15y) - 10x - 5y = 0 \implies -40x + 30y - 10x - 5y = 0 \implies -50x + 25y = 0 \implies 25y = 50x \implies y = 2x
\]

Thay \( y = 2x \) vào (3):
\[
x(2x) = -20x + 15(2x) \implies 2x^2 = -20x + 30x \implies 2x^2 = 10x \implies x^2 = 5x \implies x(x - 5) = 0
\]

Vậy \( x = 0 \) hoặc \( x = 5 \).

Nếu \( x = 0 \) thì \( y = 0 \) (loại vì không thỏa mãn phương trình ban đầu).

Nếu \( x = 5 \) thì \( y = 2 \cdot 5 = 10 \).

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( (x, y) = (5, 10) \).

### c)
\[
\begin{cases}
x^2 + y^2 = 10 \\
xy - x - y = 1
\end{cases}
\]

**Phương trình 1:**
\[
x^2 + y^2 = 10 \quad (1)
\]

**Phương trình 2:**
\[
xy - x - y = 1 \quad (2)
\]

Đặt \( S = x + y \) và \( P = xy \).

Từ (2), ta có:
\[
P - S = 1 \implies P = S + 1 \quad (3)
\]

Từ (1), ta có:
\[
x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy \implies S^2 - 2P = 10 \quad (4)
\]

Thay (3) vào (4):
\[
S^2 - 2(S + 1) = 10 \implies S^2 - 2S - 2 = 10 \implies S^2 - 2S - 12 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai:
\[
S = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 48}}{2} = \frac{2 \pm 8}{2} \implies S = 5 \text{ hoặc } S = -3
\]

Nếu \( S = 5 \):
\[
P = S + 1 = 6
\]

Phương trình bậc hai:
\[
t^2 - 5t + 6 = 0 \implies t = 2 \text{ hoặc } t = 3
\]

Vậy \( (x, y) = (2, 3) \) hoặc \( (x, y) = (3, 2) \).

Nếu \( S = -3 \):
\[
P = S + 1 = -2
\]

Phương trình bậc hai:
\[
t^2 + 3t - 2 = 0 \implies t = -1 \text{ hoặc } t = -2
\]

Vậy \( (x, y) = (-1, -2) \) hoặc \( (x, y) = (-2, -1) \).

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( (x, y) = (2, 3), (3, 2), (-1, -2), (-2, -1) \).