Trục căn thức ở mẫu của các biểu thức

Để trục căn thức ở mẫu của các biểu thức, ta cần nhân cả tử và mẫu của phân số với biểu thức liên hợp của mẫu. Dưới đây là các bước thực hiện cho từng biểu thức:

13) \(\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}\)
- Nhân cả tử và mẫu với \(\sqrt{2} + 1\):
\[
\frac{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{(\sqrt{2} + 1)^2}{2 - 1} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{1} = 3 + 2\sqrt{2}
\]

14) \(\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}\)
- Nhân cả tử và mẫu với \(2 + \sqrt{3}\):
\[
\frac{(2 + \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{4 + 4\sqrt{3} + 3}{4 - 3} = \frac{7 + 4\sqrt{3}}{1} = 7 + 4\sqrt{3}
\]

15) \(\frac{3\sqrt{3} - 4}{2\sqrt{3} + 1}\)
- Nhân cả tử và mẫu với \(2\sqrt{3} - 1\):
\[
\frac{(3\sqrt{3} - 4)(2\sqrt{3} - 1)}{(2\sqrt{3} + 1)(2\sqrt{3} - 1)} = \frac{6\sqrt{9} - 3\sqrt{3} - 8\sqrt{3} + 4}{12 - 1} = \frac{18 - 11\sqrt{3} + 4}{11} = \frac{22 - 11\sqrt{3}}{11} = 2 - \sqrt{3}
\]

16) \(\frac{\sqrt{15} - \sqrt{12}}{\sqrt{5} - 2}\)
- Nhân cả tử và mẫu với \(\sqrt{5} + 2\):
\[
\frac{(\sqrt{15} - \sqrt{12})(\sqrt{5} + 2)}{(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)} = \frac{\sqrt{75} + 2\sqrt{15} - \sqrt{60} - 2\sqrt{12}}{5 - 4} = \frac{5\sqrt{3} + 2\sqrt{15} - 2\sqrt{15} - 4\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}
\]

17) \(\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}\)
- Nhân cả tử và mẫu với \(\sqrt{5} + \sqrt{3}\):
\[
\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})} = \frac{5 + 2\sqrt{15} + 3}{5 - 3} = \frac{8 + 2\sqrt{15}}{2} = 4 + \sqrt{15}
\]

18) \(\frac{3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}}\)
- Nhân cả tử và mẫu với \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\):
\[
\frac{(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{(\sqrt{2} - \sqrt{3})(\sqrt{2} + \sqrt{3})} = \frac{3\cdot2 + 3\sqrt{6} - 2\sqrt{6} - 2\cdot3}{2 - 3} = \frac{6 + \sqrt{6} - 6}{-1} = -\sqrt{6}
\]

19) \(\frac{\sqrt{8} + \sqrt{5}}{2\sqrt{2} - \sqrt{5}}\)
- Nhân cả tử và mẫu với \(2\sqrt{2} + \sqrt{5}\):
\[
\frac{(\sqrt{8} + \sqrt{5})(2\sqrt{2} + \sqrt{5})}{(2\sqrt{2} - \sqrt{5})(2\sqrt{2} + \sqrt{5})} = \frac{2\cdot4 + \sqrt{40} + 2\sqrt{10} + 5}{8 - 5} = \frac{8 + \sqrt{40} + 2\sqrt{10} + 5}{3} = \frac{13 + \sqrt{40} + 2\sqrt{10}}{3}
\]

20) \(\frac{10 + \sqrt{5}}{2\sqrt{15} + \sqrt{3}}\)
- Nhân cả tử và mẫu với \(2\sqrt{15} - \sqrt{3}\):
\[
\frac{(10 + \sqrt{5})(2\sqrt{15} - \sqrt{3})}{(2\sqrt{15} + \sqrt{3})(2\sqrt{15} - \sqrt{3})} = \frac{20\sqrt{15} - 10\sqrt{3} + 2\sqrt{75} - \sqrt{15}}{60 - 3} = \frac{20\sqrt{15} - 10\sqrt{3} + 10\sqrt{3} - \sqrt{15}}{57} = \frac{20\sqrt{15} - \sqrt{15}}{57} = \frac{19\sqrt{15}}{57} = \frac{\sqrt{15}}{3}
\]

Như vậy, các biểu thức đã được trục căn thức ở mẫu.