Để giải bài toán này, ta sẽ đặt \( x \) là thời gian vòi thứ nhất chảy đầy bể và \( y \) là thời gian vòi thứ hai chảy đầy bể.

1. **Thông tin đầu tiên:**
- Hai vòi cùng chảy vào bể sau 4 giờ thì được \( \frac{5}{6} \) bể.
- Lưu lượng của vòi thứ nhất là \( \frac{1}{x} \) bể/giờ.
- Lưu lượng của vòi thứ hai là \( \frac{1}{y} \) bể/giờ.
- Khi cả hai vòi cùng chảy, lưu lượng là \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \) bể/giờ.
- Sau 4 giờ, lượng nước chảy vào bể là \( 4 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) = \frac{5}{6} \).

Ta có phương trình:
\[
4 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) = \frac{5}{6}
\]
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{24}
\]

2. **Thông tin thứ hai:**
- Vòi thứ nhất chảy một mình trong 3 giờ, sau đó mở thêm vòi thứ hai chảy trong 3 giờ thì đầy bể.
- Lượng nước vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ là \( 3 \times \frac{1}{x} \).
- Lượng nước cả hai vòi chảy trong 3 giờ tiếp theo là \( 3 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) \).

Ta có phương trình:
\[
3 \times \frac{1}{x} + 3 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) = 1
\]
\[
3 \times \frac{1}{x} + 3 \times \frac{1}{x} + 3 \times \frac{1}{y} = 1
\]
\[
6 \times \frac{1}{x} + 3 \times \frac{1}{y} = 1
\]

3. **Giải hệ phương trình:**
Từ hai phương trình:
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{24}
\]
\[
6 \times \frac{1}{x} + 3 \times \frac{1}{y} = 1
\]

Ta nhân phương trình đầu tiên với 3:
\[
3 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) = \frac{15}{24}
\]
\[
3 \times \frac{1}{x} + 3 \times \frac{1}{y} = \frac{5}{8}
\]

Thay vào phương trình thứ hai:
\[
6 \times \frac{1}{x} + \frac{5}{8} = 1
\]
\[
6 \times \frac{1}{x} = 1 - \frac{5}{8}
\]
\[
6 \times \frac{1}{x} = \frac{3}{8}
\]
\[
\frac{1}{x} = \frac{1}{16}
\]
\[
x = 16
\]

Thay \( \frac{1}{x} = \frac{1}{16} \) vào phương trình đầu tiên:
\[
\frac{1}{16} + \frac{1}{y} = \frac{5}{24}
\]
\[
\frac{1}{y} = \frac{5}{24} - \frac{1}{16}
\]
\[
\frac{1}{y} = \frac{10}{48} - \frac{3}{48}
\]
\[
\frac{1}{y} = \frac{7}{48}
\]
\[
y = \frac{48}{7}
\]

Vậy thời gian vòi thứ nhất chảy đầy bể là 16 giờ và thời gian vòi thứ hai chảy đầy bể là \( \frac{48}{7} \) giờ.