Giải và biện luận các hệ phương trình

Để giải và biện luận các hệ phương trình, ta sẽ xem xét từng hệ phương trình một.

### Hệ phương trình 1:
\[
\begin{cases}
2x + y = 5 \\
mx + 4y = 4
\end{cases}
\]

**Bước 1: Giải phương trình thứ nhất theo y:**
\[
y = 5 - 2x
\]

**Bước 2: Thay y vào phương trình thứ hai:**
\[
mx + 4(5 - 2x) = 4
\]
\[
mx + 20 - 8x = 4
\]
\[
mx - 8x = 4 - 20
\]
\[
(m - 8)x = -16
\]

**Bước 3: Xét các trường hợp của m:**

- Nếu \(m \neq 8\):
\[
x = \frac{-16}{m - 8}
\]
\[
y = 5 - 2\left(\frac{-16}{m - 8}\right) = 5 + \frac{32}{m - 8}
\]
Hệ có nghiệm duy nhất \((x, y)\).

- Nếu \(m = 8\):
\[
8x + 4y = 4
\]
\[
2x + y = 1
\]
So sánh với phương trình thứ nhất \(2x + y = 5\), ta thấy mâu thuẫn.
Vậy hệ vô nghiệm.

### Hệ phương trình 2:
\[
\begin{cases}
3x - 2y = 3 \\
6x + my = 1
\end{cases}
\]

**Bước 1: Giải phương trình thứ nhất theo y:**
\[
-2y = 3 - 3x
\]
\[
y = \frac{3 - 3x}{-2} = \frac{3x - 3}{2}
\]

**Bước 2: Thay y vào phương trình thứ hai:**
\[
6x + m\left(\frac{3x - 3}{2}\right) = 1
\]
\[
6x + \frac{m(3x - 3)}{2} = 1
\]
\[
6x + \frac{3mx - 3m}{2} = 1
\]
\[
12x + 3mx - 3m = 2
\]
\[
(12 + 3m)x = 2 + 3m
\]

**Bước 3: Xét các trường hợp của m:**

- Nếu \(m \neq -4\):
\[
x = \frac{2 + 3m}{12 + 3m}
\]
\[
y = \frac{3\left(\frac{2 + 3m}{12 + 3m}\right) - 3}{2} = \frac{6 + 9m - 36 - 9m}{2(12 + 3m)} = \frac{-30}{2(12 + 3m)} = \frac{-15}{12 + 3m}
\]
Hệ có nghiệm duy nhất \((x, y)\).

- Nếu \(m = -4\):
\[
6x - 4y = 1
\]
\[
3x - 2y = 3
\]
So sánh với phương trình thứ nhất, ta thấy mâu thuẫn.
Vậy hệ vô nghiệm.

Tóm lại:
- Hệ 1 có nghiệm duy nhất khi \(m \neq 8\), vô nghiệm khi \(m = 8\).
- Hệ 2 có nghiệm duy nhất khi \(m \neq -4\), vô nghiệm khi \(m = -4\).