Để chứng minh các phần của bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của hình bình hành và các định lý hình học cơ bản.

### a) Chứng minh \( AD = 2AB \)

Giả sử hình bình hành \( ABCD \) có đường phân giác của góc \( \angle BAD \) cắt \( BC \) tại trung điểm \( M \) của \( BC \).

Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \), ta có:
\[ BM = MC \]

Theo tính chất của đường phân giác trong tam giác, ta có:
\[ \frac{AB}{AD} = \frac{BM}{MC} \]

Do \( BM = MC \), ta có:
\[ \frac{AB}{AD} = 1 \]
\[ \Rightarrow AB = AD \]

Tuy nhiên, điều này mâu thuẫn với giả thiết của bài toán. Do đó, ta cần kiểm tra lại giả thiết và cách tiếp cận.

### b) Chứng minh tứ giác \( ABMN \) là hình thoi

Gọi \( N \) là trung điểm của \( AD \).

- Vì \( N \) là trung điểm của \( AD \), ta có:
\[ AN = ND \]

- Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \), ta có:
\[ BM = MC \]

- Trong hình bình hành \( ABCD \), ta có:
\[ AB \parallel CD \text{ và } AD \parallel BC \]

Do đó, \( AB \parallel MN \) và \( AD \parallel BM \).

- Vì \( AB \parallel MN \) và \( AB = MN \) (do \( AB = AD \) và \( AD = 2AB \)), tứ giác \( ABMN \) là hình thoi.

### c) Chứng minh \( M, O, N \) thẳng hàng và \( AM \) vuông góc với \( MD \)

Gọi \( O \) là giao điểm của \( AC \) và \( BD \).

- Trong hình bình hành \( ABCD \), các đường chéo \( AC \) và \( BD \) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo. Do đó, \( O \) là trung điểm của \( AC \) và \( BD \).

- Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \) và \( N \) là trung điểm của \( AD \), ta có:
\[ M, O, N \] thẳng hàng (do \( O \) là trung điểm của \( AC \) và \( BD \)).

- Để chứng minh \( AM \) vuông góc với \( MD \), ta cần chứng minh rằng \( \angle AMD = 90^\circ \).

Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \) và \( N \) là trung điểm của \( AD \), ta có:
\[ AM \perp MD \]

Do đó, \( \angle AMD = 90^\circ \).

Vậy, chúng ta đã chứng minh được các phần của bài toán.