Để giải phương trình \(2x^2 - (2m+1)x + \frac{1}{2}m^2 = 0\), ta sẽ thực hiện các bước sau:

### a) Giải phương trình với \(m = 2\)

Thay \(m = 2\) vào phương trình:
\[2x^2 - (2 \cdot 2 + 1)x + \frac{1}{2} \cdot 2^2 = 0\]
\[2x^2 - 5x + 2 = 0\]

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\):
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Ở đây, \(a = 2\), \(b = -5\), \(c = 2\):
\[x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}\]
\[x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4}\]
\[x = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4}\]
\[x = \frac{5 \pm 3}{4}\]

Vậy ta có hai nghiệm:
\[x_1 = \frac{5 + 3}{4} = 2\]
\[x_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}\]

### b) Tìm \(m\) để phương trình vô nghiệm

Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta < 0\), với \(\Delta = b^2 - 4ac\).

Ở đây, \(a = 2\), \(b = -(2m + 1)\), \(c = \frac{1}{2}m^2\):
\[\Delta = (-(2m + 1))^2 - 4 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2}m^2\]
\[\Delta = (2m + 1)^2 - 4m^2\]
\[\Delta = 4m^2 + 4m + 1 - 4m^2\]
\[\Delta = 4m + 1\]

Để phương trình vô nghiệm:
\[4m + 1 < 0\]
\[4m < -1\]
\[m < -\frac{1}{4}\]

Vậy \(m < -\frac{1}{4}\) thì phương trình vô nghiệm.

### c) Tìm \(m\) để phương trình có nghiệm \(x = 3\)

Thay \(x = 3\) vào phương trình:
\[2(3)^2 - (2m + 1) \cdot 3 + \frac{1}{2}m^2 = 0\]
\[18 - 3(2m + 1) + \frac{1}{2}m^2 = 0\]
\[18 - 6m - 3 + \frac{1}{2}m^2 = 0\]
\[15 - 6m + \frac{1}{2}m^2 = 0\]

Nhân cả hai vế với 2 để dễ giải:
\[30 - 12m + m^2 = 0\]
\[m^2 - 12m + 30 = 0\]

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
\[m = \frac{12 \pm \sqrt{12^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}\]
\[m = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 120}}{2}\]
\[m = \frac{12 \pm \sqrt{24}}{2}\]
\[m = \frac{12 \pm 2\sqrt{6}}{2}\]
\[m = 6 \pm \sqrt{6}\]

Vậy \(m = 6 + \sqrt{6}\) hoặc \(m = 6 - \sqrt{6}\) thì phương trình có nghiệm \(x = 3\).