Để tính độ dài các đoạn thẳng \(HB\) và \(HC\) trong tam giác vuông \( \Delta ABC \) vuông tại \(A\) với tỉ lệ \(AB : AC = 5 : 6\) và đường cao \(AH = 30 \, cm\), ta làm như sau:

1. **Gọi \(AB = 5k\) và \(AC = 6k\)**:
- Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông \( \Delta ABC \):
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{(5k)^2 + (6k)^2} = \sqrt{25k^2 + 36k^2} = \sqrt{61k^2} = k\sqrt{61}
\]

2. **Tính diện tích tam giác \( \Delta ABC \)**:
- Diện tích tam giác \( \Delta ABC \) có thể tính bằng hai cách:
\[
S = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 5k \times 6k = 15k^2
\]
- Diện tích tam giác \( \Delta ABC \) cũng có thể tính bằng:
\[
S = \frac{1}{2} \times BC \times AH = \frac{1}{2} \times k\sqrt{61} \times 30 = 15k\sqrt{61}
\]
- Từ đó, ta có:
\[
15k^2 = 15k\sqrt{61}
\]
\[
k = \sqrt{61}
\]

3. **Tính \(HB\) và \(HC\)**:
- Sử dụng công thức đường cao trong tam giác vuông:
\[
AH^2 = HB \times HC
\]
\[
30^2 = HB \times HC
\]
\[
900 = HB \times HC
\]
- Ta có:
\[
HB + HC = BC = k\sqrt{61} = \sqrt{61} \times \sqrt{61} = 61
\]
- Giải hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
HB + HC = 61 \\
HB \times HC = 900
\end{cases}
\]
\[
x + y = 61
\]
\[
xy = 900
\]
- Giải phương trình bậc hai:
\[
t^2 - 61t + 900 = 0
\]
\[
\Delta = 61^2 - 4 \times 900 = 3721 - 3600 = 121
\]
\[
t = \frac{61 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{61 \pm 11}{2}
\]
\[
t_1 = \frac{72}{2} = 36, \quad t_2 = \frac{50}{2} = 25
\]

Vậy \(HB = 25 \, cm\) và \(HC = 36 \, cm\).