Để tính AD và CD, ta thực hiện các bước sau:

1. **Tính độ dài cạnh huyền BC của tam giác vuông ABC:**
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25 \text{ cm}
\]

2. **Tính diện tích tam giác ABC:**
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 15 \times 20 = 150 \text{ cm}^2
\]

3. **Tính độ dài đoạn CD:**
Đường cao từ C đến cạnh huyền BC là đoạn CD. Diện tích tam giác ABC cũng có thể được tính bằng:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times CD
\]
Do đó:
\[
150 = \frac{1}{2} \times 25 \times CD \implies 150 = 12.5 \times CD \implies CD = \frac{150}{12.5} = 12 \text{ cm}
\]

4. **Tính độ dài đoạn AD:**
Trong tam giác vuông ABC, đường cao từ đỉnh góc vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn. Ta có:
\[
AD = \frac{AB^2}{BC} = \frac{15^2}{25} = \frac{225}{25} = 9 \text{ cm}
\]

Vậy, độ dài đoạn AD là 9 cm và độ dài đoạn CD là 12 cm.