Để giải bài toán này, ta cần lập hệ phương trình dựa trên các thông tin đã cho.

Gọi \( x \) là số ngày mà người thứ nhất hoàn thành công việc nếu làm một mình.
Gọi \( y \) là số ngày mà người thứ hai hoàn thành công việc nếu làm một mình.

Khi đó, trong một ngày, người thứ nhất làm được \(\frac{1}{x}\) công việc và người thứ hai làm được \(\frac{1}{y}\) công việc.

1. Nếu cả hai cùng làm trong 6 ngày thì hoàn thành công việc:
\[ 6 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) = 1 \]

2. Hai người làm cùng nhau trong 3 ngày, sau đó người thứ nhất chuyển đi, người thứ hai làm một mình trong 4 ngày nữa thì hoàn thành công việc:
\[ 3 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) + 4 \left( \frac{1}{y} \right) = 1 \]

Từ hai phương trình trên, ta có hệ phương trình:
\[ \begin{cases}
6 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) = 1 \\
3 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) + 4 \left( \frac{1}{y} \right) = 1
\end{cases} \]

Ta sẽ giải hệ phương trình này:

1. Từ phương trình đầu tiên:
\[ 6 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) = 1 \]
\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \]

2. Thay \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}\) vào phương trình thứ hai:
\[ 3 \left( \frac{1}{6} \right) + 4 \left( \frac{1}{y} \right) = 1 \]
\[ \frac{1}{2} + \frac{4}{y} = 1 \]
\[ \frac{4}{y} = 1 - \frac{1}{2} \]
\[ \frac{4}{y} = \frac{1}{2} \]
\[ y = 8 \]

3. Thay \( y = 8 \) vào phương trình \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}\):
\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{8} = \frac{1}{6} \]
\[ \frac{1}{x} = \frac{1}{6} - \frac{1}{8} \]
\[ \frac{1}{x} = \frac{4}{24} - \frac{3}{24} \]
\[ \frac{1}{x} = \frac{1}{24} \]
\[ x = 24 \]

Vậy, nếu làm riêng thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong 24 ngày và người thứ hai hoàn thành công việc trong 8 ngày.