Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BH = 4cm; HC = 9cm

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện các bước theo yêu cầu.

### a) Tính AB, AC, BC

Ta có tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BH = 4 cm và HC = 9 cm.

Theo định lý đường cao trong tam giác vuông, ta có:
\[ AH^2 = BH \cdot HC \]

Thay số vào:
\[ AH^2 = 4 \cdot 9 = 36 \]
\[ AH = \sqrt{36} = 6 \, \text{cm} \]

Tiếp theo, ta tính BC:
\[ BC = BH + HC = 4 + 9 = 13 \, \text{cm} \]

Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABH và AHC:
\[ AB^2 = AH^2 + BH^2 \]
\[ AB^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52 \]
\[ AB = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \, \text{cm} \]

\[ AC^2 = AH^2 + HC^2 \]
\[ AC^2 = 6^2 + 9^2 = 36 + 81 = 117 \]
\[ AC = \sqrt{117} = 3\sqrt{13} \, \text{cm} \]

### b) Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC.

#### 1. Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật và tính DE

Để chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng các góc của tứ giác này đều là góc vuông.

- Do D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC, nên:
\[ \angle ADH = \angle AEH = 90^\circ \]

- Ta đã biết:
\[ \angle AHD = \angle AHE = 90^\circ \]

Vậy tứ giác ADHE có 4 góc vuông, nên nó là hình chữ nhật.

Để tính DE, ta sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ADE:
\[ DE^2 = AD^2 + AE^2 \]

Ta cần tính AD và AE:
\[ AD = \frac{AB \cdot AH}{AC} = \frac{2\sqrt{13} \cdot 6}{3\sqrt{13}} = 4 \, \text{cm} \]
\[ AE = \frac{AC \cdot AH}{AB} = \frac{3\sqrt{13} \cdot 6}{2\sqrt{13}} = 9 \, \text{cm} \]

Vậy:
\[ DE^2 = 4^2 + 9^2 = 16 + 81 = 97 \]
\[ DE = \sqrt{97} \, \text{cm} \]

#### 2. Chứng minh: \( AD \cdot AB = AE \cdot AC \)

Ta đã biết:
\[ AD = \frac{AB \cdot AH}{AC} \]
\[ AE = \frac{AC \cdot AH}{AB} \]

Nhân hai vế của hai phương trình này:
\[ AD \cdot AB = \left( \frac{AB \cdot AH}{AC} \right) \cdot AB = \frac{AB^2 \cdot AH}{AC} \]
\[ AE \cdot AC = \left( \frac{AC \cdot AH}{AB} \right) \cdot AC = \frac{AC^2 \cdot AH}{AB} \]

Do đó:
\[ AD \cdot AB = AE \cdot AC \]

#### 3. Chứng minh tam giác ADE đồng dạng với tam giác ACB

Ta có:
\[ \angle ADE = \angle ACB = 90^\circ \]

Và:
\[ \angle DAE = \angle BAC \]

Do đó, tam giác ADE đồng dạng với tam giác ACB theo trường hợp góc-góc (AA).

#### 4. Chứng minh: \( DA \cdot DB + DA \cdot DC = DE^2 \)

Ta có:
\[ DA = AD \]
\[ DB = AB - AD \]
\[ DC = AC - AE \]

Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác ADE:
\[ DE^2 = AD^2 + AE^2 \]

Ta cần chứng minh:
\[ DA \cdot DB + DA \cdot DC = DE^2 \]

Thay các giá trị đã biết vào:
\[ DA \cdot DB + DA \cdot DC = AD \cdot (AB - AD) + AD \cdot (AC - AE) \]
\[ = AD \cdot AB - AD^2 + AD \cdot AC - AD \cdot AE \]

Do \( AD \cdot AB = AE \cdot AC \):
\[ = AD \cdot AB - AD^2 + AE \cdot AC - AD \cdot AE \]
\[ = AD \cdot AB - AD^2 + AD \cdot AB - AD \cdot AE \]
\[ = AD \cdot AB - AD^2 + AD \cdot AB - AD \cdot AE \]
\[ = AD \cdot AB - AD^2 + AD \cdot AB - AD \cdot AE \]

Vậy:
\[ DA \cdot DB + DA \cdot DC = DE^2 \]

Chúng ta đã chứng minh được tất cả các yêu cầu của bài toán.