Để phân tích các đa thức thành nhân tử, chúng ta sẽ sử dụng các phương pháp như phân tích bằng cách nhóm, sử dụng định lý về nghiệm của đa thức, hoặc sử dụng các công thức đặc biệt.

a) \( x^3 - 6x - 9 \)

Để phân tích đa thức này, chúng ta có thể thử tìm nghiệm của nó trước. Giả sử \( x = a \) là một nghiệm của đa thức, thì \( x - a \) là một nhân tử của đa thức đó.

Thử các giá trị \( x = 1, -1, 2, -2, 3, -3 \):

- Với \( x = 1 \):
\( 1^3 - 6 \cdot 1 - 9 = 1 - 6 - 9 = -14 \neq 0 \)

- Với \( x = -1 \):
\( (-1)^3 - 6 \cdot (-1) - 9 = -1 + 6 - 9 = -4 \neq 0 \)

- Với \( x = 2 \):
\( 2^3 - 6 \cdot 2 - 9 = 8 - 12 - 9 = -13 \neq 0 \)

- Với \( x = -2 \):
\( (-2)^3 - 6 \cdot (-2) - 9 = -8 + 12 - 9 = -5 \neq 0 \)

- Với \( x = 3 \):
\( 3^3 - 6 \cdot 3 - 9 = 27 - 18 - 9 = 0 \)

Vậy \( x = 3 \) là một nghiệm của đa thức. Do đó, \( x - 3 \) là một nhân tử của đa thức.

Chia \( x^3 - 6x - 9 \) cho \( x - 3 \):

\[
\begin{array}{r|rrr}
x - 3 & x^3 & 0x^2 & -6x & -9 \\
\hline
& x^2 & 3x & 3 \\
\hline
& x^3 & -3x^2 & 0 & 0 \\
& & 3x^2 & -9x & 0 \\
& & & -6x & -9 \\
& & & & 0 \\
\end{array}
\]

Kết quả là \( x^3 - 6x - 9 = (x - 3)(x^2 + 3x + 3) \).

b) \( x^4 - 5x^2 + 4 \)

Để phân tích đa thức này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ. Đặt \( y = x^2 \), ta có:

\( y^2 - 5y + 4 \)

Giải phương trình bậc hai này:

\[
y^2 - 5y + 4 = 0
\]

\[
y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2}
\]

\[
y = 4 \quad \text{hoặc} \quad y = 1
\]

Do đó, \( x^2 = 4 \) hoặc \( x^2 = 1 \).

Vậy:

\[
(x^2 - 4)(x^2 - 1) = (x - 2)(x + 2)(x - 1)(x + 1)
\]

Kết quả là \( x^4 - 5x^2 + 4 = (x - 2)(x + 2)(x - 1)(x + 1) \).