Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện các yêu cầu theo từng phần.

### a) Chứng minh \( ax \parallel by \)

Ta có:
- \( ax \perp m \)
- \( by \perp m \)

Vì \( ax \) và \( by \) đều vuông góc với \( m \), nên \( ax \parallel by \) (theo định lý hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau).

### b) Tính số đo \(\angle CBx\)

Ta có:
- \(\angle BCD = 62^\circ\)

Do \( ax \parallel by \) và \( m \) là đường cắt ngang, nên các góc tạo thành bởi \( ax \) và \( by \) với \( m \) là các góc so le trong.

Vì vậy, \(\angle DBC = \angle BCD = 62^\circ\).

Do đó, \(\angle CBx = 180^\circ - \angle DBC = 180^\circ - 62^\circ = 118^\circ\).

### c) Vẽ tia \( Bt \) là tia phân giác của \(\angle CBx\). Từ \( C \) kẻ đường thẳng vuông góc với \( Bt \) tại \( M \). Chứng minh tia \( CM \) là tia phân giác của \(\angle BCy\).

- Vẽ tia \( Bt \) là tia phân giác của \(\angle CBx\), ta có \(\angle CBt = \angle tBx = \frac{1}{2} \angle CBx = \frac{1}{2} \times 118^\circ = 59^\circ\).

- Từ \( C \) kẻ đường thẳng vuông góc với \( Bt \) tại \( M \).

Để chứng minh tia \( CM \) là tia phân giác của \(\angle BCy\), ta cần chứng minh \(\angle BCM = \angle MCy\).

Ta có:
- \(\angle CBt = 59^\circ\)
- \(\angle tBy = 59^\circ\) (do \( Bt \) là tia phân giác của \(\angle CBx\))

Vì \( CM \perp Bt \), nên \(\angle BCM = \angle MCy = 59^\circ\).

Do đó, tia \( CM \) là tia phân giác của \(\angle BCy\).

### Kết luận:
- \( ax \parallel by \)
- \(\angle CBx = 118^\circ\)
- Tia \( CM \) là tia phân giác của \(\angle BCy\)