Để giải bài toán này, ta sẽ lập hệ phương trình dựa trên các thông tin đã cho.

Gọi số sản phẩm tổ 1 sản xuất trong tháng thứ nhất là \( x \) và số sản phẩm tổ 2 sản xuất trong tháng thứ nhất là \( y \).

Theo đề bài, ta có hai phương trình sau:

1. Tổng số sản phẩm hai tổ sản xuất trong tháng thứ nhất là 500:
\[ x + y = 500 \]

2. Tháng thứ hai, tổ 1 làm vượt mức 10% so với tháng thứ nhất, tức là tổ 1 làm được \( x + 0.1x = 1.1x \) sản phẩm. Tổ 2 làm vượt mức 15% so với tháng thứ nhất, tức là tổ 2 làm được \( y + 0.15y = 1.15y \) sản phẩm. Tổng số sản phẩm hai tổ sản xuất trong tháng thứ hai là 564:
\[ 1.1x + 1.15y = 564 \]

Bây giờ, ta giải hệ phương trình này:

\[ \begin{cases}
x + y = 500 \\
1.1x + 1.15y = 564
\end{cases} \]

Từ phương trình thứ nhất, ta có:
\[ y = 500 - x \]

Thay \( y \) vào phương trình thứ hai:
\[ 1.1x + 1.15(500 - x) = 564 \]
\[ 1.1x + 575 - 1.15x = 564 \]
\[ 1.1x - 1.15x = 564 - 575 \]
\[ -0.05x = -11 \]
\[ x = \frac{-11}{-0.05} \]
\[ x = 220 \]

Thay \( x = 220 \) vào phương trình \( y = 500 - x \):
\[ y = 500 - 220 \]
\[ y = 280 \]

Vậy trong tháng thứ nhất, tổ 1 sản xuất được 220 sản phẩm và tổ 2 sản xuất được 280 sản phẩm.