Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AC = BD. Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng DC tại E. Chúng ta cần chứng minh các điều sau:

a) Tam giác BDE là tam giác cân.
b) Các tam giác ACD và BDC bằng nhau.
c) ABCD là hình thang cân.

### Chứng minh:

#### a) Tam giác BDE là tam giác cân

Do \( AC = BD \) và \( BE \parallel AC \), ta có:

- \( \triangle ABE \) và \( \triangle BEC \) là hai tam giác đồng dạng (vì có hai góc tương ứng bằng nhau: \( \angle ABE = \angle BEC \) và \( \angle AEB = \angle EBC \)).
- Do \( AC = BD \), ta có \( BE = BE \) (vì \( BE \parallel AC \)).

Vì \( BE \parallel AC \) và \( AC = BD \), ta có \( BE = BD \). Do đó, tam giác \( BDE \) có \( BE = BD \), nên tam giác \( BDE \) là tam giác cân tại \( B \).

#### b) Các tam giác ACD và BDC bằng nhau

Xét hai tam giác \( \triangle ACD \) và \( \triangle BDC \):

- \( AC = BD \) (giả thiết).
- \( CD \) là cạnh chung.
- \( \angle ACD = \angle BDC \) (vì \( AB \parallel CD \) và \( AC = BD \), nên hai góc này là góc đối đỉnh).

Do đó, theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c), ta có \( \triangle ACD = \triangle BDC \).

#### c) ABCD là hình thang cân

Từ phần b, ta đã chứng minh được \( \triangle ACD = \triangle BDC \). Điều này có nghĩa là:

- \( AD = BC \) (vì hai tam giác bằng nhau nên các cạnh tương ứng bằng nhau).
- \( \angle CAD = \angle CBD \) (vì hai tam giác bằng nhau nên các góc tương ứng bằng nhau).

Do đó, hình thang ABCD có hai cạnh bên bằng nhau (\( AD = BC \)) và hai góc kề một đáy bằng nhau (\( \angle CAD = \angle CBD \)). Vậy hình thang ABCD là hình thang cân.

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được cả ba điều cần chứng minh.