Để chứng minh rằng tổng bình phương của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng bình phương đó cũng chia hết cho 3, ta có thể sử dụng tính chất của số dư khi chia cho 3.

Giả sử \( a \) và \( b \) là hai số nguyên. Khi chia cho 3, mỗi số nguyên có thể có số dư là 0, 1 hoặc 2. Ta sẽ xem xét tất cả các trường hợp có thể xảy ra cho \( a \) và \( b \).

1. **Trường hợp 1: \( a \equiv 0 \pmod{3} \) và \( b \equiv 0 \pmod{3} \)**
\[
a = 3k \quad \text{và} \quad b = 3m \quad \text{với} \quad k, m \in \mathbb{Z}
\]
\[
a^2 + b^2 = (3k)^2 + (3m)^2 = 9k^2 + 9m^2 = 9(k^2 + m^2)
\]
Rõ ràng \( 9(k^2 + m^2) \) chia hết cho 3.

2. **Trường hợp 2: \( a \equiv 1 \pmod{3} \) và \( b \equiv 1 \pmod{3} \)**
\[
a = 3k + 1 \quad \text{và} \quad b = 3m + 1 \quad \text{với} \quad k, m \in \mathbb{Z}
\]
\[
a^2 + b^2 = (3k + 1)^2 + (3m + 1)^2 = (9k^2 + 6k + 1) + (9m^2 + 6m + 1) = 9k^2 + 9m^2 + 6k + 6m + 2
\]
\[
a^2 + b^2 \equiv 1 + 1 = 2 \pmod{3}
\]
Tổng bình phương không chia hết cho 3.

3. **Trường hợp 3: \( a \equiv 2 \pmod{3} \) và \( b \equiv 2 \pmod{3} \)**
\[
a = 3k + 2 \quad \text{và} \quad b = 3m + 2 \quad \text{với} \quad k, m \in \mathbb{Z}
\]
\[
a^2 + b^2 = (3k + 2)^2 + (3m + 2)^2 = (9k^2 + 12k + 4) + (9m^2 + 12m + 4) = 9k^2 + 9m^2 + 12k + 12m + 8
\]
\[
a^2 + b^2 \equiv 4 + 4 = 8 \equiv 2 \pmod{3}
\]
Tổng bình phương không chia hết cho 3.

4. **Trường hợp 4: \( a \equiv 1 \pmod{3} \) và \( b \equiv 2 \pmod{3} \) hoặc ngược lại**
\[
a = 3k + 1 \quad \text{và} \quad b = 3m + 2 \quad \text{với} \quad k, m \in \mathbb{Z}
\]
\[
a^2 + b^2 = (3k + 1)^2 + (3m + 2)^2 = (9k^2 + 6k + 1) + (9m^2 + 12m + 4) = 9k^2 + 9m^2 + 6k + 12m + 5
\]
\[
a^2 + b^2 \equiv 1 + 4 = 5 \equiv 2 \pmod{3}
\]
Tổng bình phương không chia hết cho 3.

Từ các trường hợp trên, ta thấy rằng tổng bình phương của hai số nguyên chỉ chia hết cho 3 khi cả hai số đều chia hết cho 3.