Để giải phương trình \( \frac{x}{x + 3} - \frac{2x - 1}{3 - x} = \frac{2x^2 + 4x}{x^2 - 9} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Nhận diện các mẫu số chung**:
- \( x + 3 \)
- \( 3 - x \)
- \( x^2 - 9 \) (có thể phân tích thành \( (x + 3)(x - 3) \))

2. **Quy đồng mẫu số**:
- \( x + 3 \) và \( 3 - x \) có thể quy đồng thành \( (x + 3)(x - 3) \).

3. **Biến đổi phương trình**:
- Ta có \( \frac{x}{x + 3} - \frac{2x - 1}{3 - x} \):
\[
\frac{x}{x + 3} - \frac{2x - 1}{3 - x} = \frac{x(x - 3) - (2x - 1)(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)}
\]
- Biểu thức này trở thành:
\[
\frac{x^2 - 3x - (2x^2 + 6x - x - 3)}{(x + 3)(x - 3)}
\]
- Đơn giản hóa tử số:
\[
x^2 - 3x - 2x^2 - 6x + x + 3 = -x^2 - 8x + 3
\]
- Vậy biểu thức trở thành:
\[
\frac{-x^2 - 8x + 3}{(x + 3)(x - 3)}
\]

4. **Phương trình trở thành**:
\[
\frac{-x^2 - 8x + 3}{(x + 3)(x - 3)} = \frac{2x^2 + 4x}{(x + 3)(x - 3)}
\]

5. **So sánh tử số**:
\[
-x^2 - 8x + 3 = 2x^2 + 4x
\]

6. **Giải phương trình bậc hai**:
\[
-x^2 - 8x + 3 = 2x^2 + 4x
\]
\[
-x^2 - 8x + 3 - 2x^2 - 4x = 0
\]
\[
-3x^2 - 12x + 3 = 0
\]
\[
3x^2 + 12x - 3 = 0
\]

7. **Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai**:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
với \( a = 3 \), \( b = 12 \), và \( c = -3 \):
\[
x = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3)}}{2 \cdot 3}
\]
\[
x = \frac{-12 \pm \sqrt{144 + 36}}{6}
\]
\[
x = \frac{-12 \pm \sqrt{180}}{6}
\]
\[
x = \frac{-12 \pm 6\sqrt{5}}{6}
\]
\[
x = -2 \pm \sqrt{5}
\]

Vậy nghiệm của phương trình là \( x = -2 + \sqrt{5} \) và \( x = -2 - \sqrt{5} \).