Chứng minh rằng MP=NQ và MP,NQ tạo với nhau một góc 60 độ

Để chứng minh rằng \( MP = NQ \) và \( MP \) tạo với \( NQ \) một góc 60 độ, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác đều và các phép biến hình trong hình học phẳng.

1. **Xác định các tam giác đều và trung điểm:**

- Tam giác đều \( ABX \) với \( X \) nằm ngoài tứ giác \( ABCD \).
- Tam giác đều \( BCY \) với \( Y \) nằm ngoài tứ giác \( ABCD \).
- Tam giác đều \( CDZ \) với \( Z \) nằm ngoài tứ giác \( ABCD \).
- Tam giác đều \( DAT \) với \( T \) nằm ngoài tứ giác \( ABCD \).
- \( M \) là trung điểm của \( BX \).
- \( N \) là trung điểm của \( BY \).
- \( P \) là trung điểm của \( DT \).
- \( Q \) là trung điểm của \( DZ \).

2. **Sử dụng phép quay:**

- Xét phép quay tâm \( B \) góc \( 60^\circ \) ngược chiều kim đồng hồ. Phép quay này biến \( A \) thành \( X \) và \( C \) thành \( Y \) vì \( ABX \) và \( BCY \) là các tam giác đều.
- Do đó, \( M \) (trung điểm của \( BX \)) sẽ biến thành \( N \) (trung điểm của \( BY \)) dưới phép quay này.

3. **Tính chất của phép quay:**

- Phép quay bảo toàn khoảng cách, nên \( BM = BN \).
- Do \( M \) và \( N \) là trung điểm của các cạnh của các tam giác đều, ta có:
\[
BM = \frac{BX}{2} = \frac{AB \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{AB \cdot \sqrt{3}}{2}
\]
và
\[
BN = \frac{BY}{2} = \frac{BC \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{BC \cdot \sqrt{3}}{2}
\]

4. **Tương tự cho \( P \) và \( Q \):**

- Xét phép quay tâm \( D \) góc \( 60^\circ \) ngược chiều kim đồng hồ. Phép quay này biến \( A \) thành \( T \) và \( C \) thành \( Z \) vì \( DAT \) và \( CDZ \) là các tam giác đều.
- Do đó, \( P \) (trung điểm của \( DT \)) sẽ biến thành \( Q \) (trung điểm của \( DZ \)) dưới phép quay này.

5. **Chứng minh \( MP = NQ \):**

- Từ các phép quay trên, ta có:
\[
MP = \frac{BX}{2} = \frac{AB \cdot \sqrt{3}}{2}
\]
và
\[
NQ = \frac{DZ}{2} = \frac{CD \cdot \sqrt{3}}{2}
\]
- Do \( AB = CD \) (vì các tam giác đều có cạnh bằng nhau), ta suy ra \( MP = NQ \).

6. **Chứng minh góc giữa \( MP \) và \( NQ \) là \( 60^\circ \):**

- Do \( MP \) và \( NQ \) là các đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh của các tam giác đều, và các tam giác đều này quay quanh các đỉnh của tứ giác \( ABCD \) với góc \( 60^\circ \), nên góc giữa \( MP \) và \( NQ \) cũng chính là góc quay \( 60^\circ \).

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( MP = NQ \) và góc giữa \( MP \) và \( NQ \) là \( 60^\circ \).