Để giải phương trình \( x^3 - 6x^2 + 12x - 8 = 27 \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Chuyển tất cả các hạng tử về một vế của phương trình:**

\[
x^3 - 6x^2 + 12x - 8 - 27 = 0
\]

\[
x^3 - 6x^2 + 12x - 35 = 0
\]

2. **Tìm nghiệm của phương trình bậc ba:**

Để tìm nghiệm của phương trình bậc ba, ta có thể thử các nghiệm nguyên trước. Các nghiệm nguyên có thể là các ước của hệ số tự do (-35).

Các ước của -35 là: \( \pm 1, \pm 5, \pm 7, \pm 35 \).

Ta thử từng nghiệm:

- Thử \( x = 1 \):

\[
1^3 - 6(1)^2 + 12(1) - 35 = 1 - 6 + 12 - 35 = -28 \neq 0
\]

- Thử \( x = -1 \):

\[
(-1)^3 - 6(-1)^2 + 12(-1) - 35 = -1 - 6 - 12 - 35 = -54 \neq 0
\]

- Thử \( x = 5 \):

\[
5^3 - 6(5)^2 + 12(5) - 35 = 125 - 150 + 60 - 35 = 0
\]

Vậy \( x = 5 \) là một nghiệm của phương trình.

3. **Phân tích đa thức thành nhân tử:**

Vì \( x = 5 \) là một nghiệm, ta có thể phân tích đa thức \( x^3 - 6x^2 + 12x - 35 \) thành nhân tử bằng cách chia đa thức cho \( x - 5 \).

Sử dụng phép chia đa thức:

\[
x^3 - 6x^2 + 12x - 35 = (x - 5)(x^2 - x + 7)
\]

4. **Giải phương trình bậc hai còn lại:**

Ta cần giải phương trình \( x^2 - x + 7 = 0 \).

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Với \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = 7 \):

\[
x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}
\]

\[
x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 28}}{2}
\]

\[
x = \frac{1 \pm \sqrt{-27}}{2}
\]

\[
x = \frac{1 \pm 3i\sqrt{3}}{2}
\]

Vậy nghiệm của phương trình là:

\[
x = 5, \quad x = \frac{1 + 3i\sqrt{3}}{2}, \quad x = \frac{1 - 3i\sqrt{3}}{2}
\]

Trong đó, \( x = 5 \) là nghiệm thực, còn \( \frac{1 + 3i\sqrt{3}}{2} \) và \( \frac{1 - 3i\sqrt{3}}{2} \) là các nghiệm phức.