Để chứng minh bất đẳng thức \( \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \ldots + \frac{1}{n^2} < 1 \) cho mọi \( n \geq 2 \), ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp toán học.

### Bước 1: Cơ sở quy nạp
Trước hết, ta kiểm tra bất đẳng thức với \( n = 2 \):

\[ \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0.25 \]

Rõ ràng \( 0.25 < 1 \), do đó bất đẳng thức đúng với \( n = 2 \).

### Bước 2: Giả thiết quy nạp
Giả sử bất đẳng thức đúng với \( n = k \), tức là:

\[ \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \ldots + \frac{1}{k^2} < 1 \]

### Bước 3: Bước quy nạp
Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với \( n = k + 1 \), tức là:

\[ \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \ldots + \frac{1}{k^2} + \frac{1}{(k+1)^2} < 1 \]

Theo giả thiết quy nạp, ta có:

\[ \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \ldots + \frac{1}{k^2} < 1 \]

Thêm \(\frac{1}{(k+1)^2}\) vào cả hai vế của bất đẳng thức trên, ta được:

\[ \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \ldots + \frac{1}{k^2} + \frac{1}{(k+1)^2} < 1 + \frac{1}{(k+1)^2} \]

Do \( \frac{1}{(k+1)^2} \) là một số dương và nhỏ hơn 1, nên:

\[ 1 + \frac{1}{(k+1)^2} < 1 + 1 = 2 \]

Tuy nhiên, ta cần chứng minh rằng tổng này vẫn nhỏ hơn 1. Để làm điều này, ta cần chứng minh rằng:

\[ \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \ldots + \frac{1}{k^2} + \frac{1}{(k+1)^2} < 1 \]

Thực tế, tổng các số hạng từ \(\frac{1}{2^2}\) đến \(\frac{1}{(k+1)^2}\) sẽ hội tụ về một giá trị nhỏ hơn 1 khi \( k \) đủ lớn. Điều này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng tính chất của chuỗi hội tụ.

Tuy nhiên, để đơn giản hóa, ta có thể sử dụng một bất đẳng thức chặt hơn. Ta biết rằng:

\[ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^2} \]

là một chuỗi hội tụ và giá trị của nó là:

\[ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} - 1 \approx 0.64493 \]

Do đó, tổng của bất kỳ số hữu hạn các số hạng từ \(\frac{1}{2^2}\) đến \(\frac{1}{n^2}\) sẽ luôn nhỏ hơn 1.

Vậy, bất đẳng thức \( \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \ldots + \frac{1}{n^2} < 1 \) đúng với mọi \( n \geq 2 \).