Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần một.

**a) Chứng minh \(\Delta AHK = \Delta DHB\):**

- Ta có \(AH \perp BC\) và \(HD = HA\) (do \(D\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(H\)).
- Ta cũng có \(HK = HB\) (do \(K\) là điểm trên \(BC\) sao cho \(HK = HB\)).
- Xét hai tam giác \(\Delta AHK\) và \(\Delta DHB\):
- \(AH = HD\) (giả thiết).
- \(HK = HB\) (giả thiết).
- \(\angle AHK = \angle DHB\) (cùng bằng 90 độ).
- Vậy theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c), ta có \(\Delta AHK = \Delta DHB\).

**b) Chứng minh \(AK \parallel BD\):**

- Từ \(\Delta AHK = \Delta DHB\), ta có \(\angle HAK = \angle HDB\).
- Do đó, hai góc này bằng nhau và nằm ở vị trí so le trong, nên \(AK \parallel BD\).

**c) Chứng minh \(AB = BD\):**

- Từ \(\Delta AHK = \Delta DHB\), ta có \(AH = HD\) và \(HK = HB\).
- Do \(AH = HD\) và \(HK = HB\), ta có \(AB = BD\) (vì \(AB\) và \(BD\) là hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau).

**d) Chứng minh ba điểm \(D, K, I\) thẳng hàng:**

- Ta đã có \(AK \parallel BD\) (phần b).
- Gọi \(I\) là giao điểm của \(KI\) với \(AC\).
- Do \(AK \parallel BD\), nên \(I\) nằm trên đường thẳng \(DK\).
- Vậy ba điểm \(D, K, I\) thẳng hàng.

Như vậy, ta đã chứng minh được tất cả các yêu cầu của bài toán.