Để giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số, ta thực hiện các bước sau:

Hệ phương trình cần giải là:
\[ \begin{cases}
5x - 6y = 4 \quad \text{(1)} \\
2x - 5y = -1 \quad \text{(2)}
\end{cases} \]

Bước 1: Nhân các phương trình với các hệ số sao cho hệ số của một trong các biến (x hoặc y) trong hai phương trình trở thành đối nhau. Ở đây, ta sẽ nhân phương trình (1) với 2 và phương trình (2) với 5 để hệ số của \(x\) trong hai phương trình trở thành đối nhau.

Nhân phương trình (1) với 2:
\[ 2(5x - 6y) = 2 \cdot 4 \]
\[ 10x - 12y = 8 \quad \text{(3)} \]

Nhân phương trình (2) với 5:
\[ 5(2x - 5y) = 5 \cdot (-1) \]
\[ 10x - 25y = -5 \quad \text{(4)} \]

Bước 2: Trừ phương trình (4) cho phương trình (3) để loại bỏ biến \(x\):
\[ (10x - 25y) - (10x - 12y) = -5 - 8 \]
\[ 10x - 25y - 10x + 12y = -13 \]
\[ -13y = -13 \]

Bước 3: Giải phương trình vừa thu được để tìm \(y\):
\[ -13y = -13 \]
\[ y = 1 \]

Bước 4: Thay giá trị \(y = 1\) vào một trong hai phương trình ban đầu để tìm \(x\). Ta chọn phương trình (2):
\[ 2x - 5y = -1 \]
\[ 2x - 5(1) = -1 \]
\[ 2x - 5 = -1 \]
\[ 2x = 4 \]
\[ x = 2 \]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
\[ x = 2 \]
\[ y = 1 \]

Kết quả:
\[ \boxed{(x, y) = (2, 1)} \]