Cho các số thực a, b thỏa mãn a + b = 1 và ab = 1. Tính giá trị của a^2 + b^2, a^3 + b^3, a^4 + b^4, a^5 + b^5, a^6 + b^6

Để giải bài toán này, ta có hai điều kiện:

1. \( a + b = 1 \)
2. \( ab = 1 \)

Từ hai điều kiện này, ta có thể tìm ra giá trị của \( a \) và \( b \).

Ta có thể sử dụng phương trình bậc hai để tìm \( a \) và \( b \). Gọi \( x \) là một trong hai số \( a \) hoặc \( b \), ta có phương trình:

\[
x^2 - (a+b)x + ab = 0
\]

Thay \( a + b = 1 \) và \( ab = 1 \) vào phương trình, ta có:

\[
x^2 - 1x + 1 = 0
\]

Giải phương trình này, ta có:

\[
x = \frac{1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}
\]

Vậy \( a \) và \( b \) là hai số phức:

\[
a = \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}, \quad b = \frac{1 - i\sqrt{3}}{2}
\]

Bây giờ, ta sẽ tính các giá trị \( a^2 + b^2 \), \( a^3 + b^3 \), \( a^4 + b^4 \), \( a^5 + b^5 \), và \( a^6 + b^6 \).

### Tính \( a^2 + b^2 \)

Sử dụng công thức:

\[
a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab
\]

Ta có:

\[
a^2 + b^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 = 1 - 2 = -1
\]

### Tính \( a^3 + b^3 \)

Sử dụng công thức:

\[
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 + b^2 - ab)
\]

Ta có:

\[
a^3 + b^3 = 1 \cdot (-1 - 1) = -2
\]

### Tính \( a^4 + b^4 \)

Sử dụng công thức:

\[
a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - 2(ab)^2
\]

Ta có:

\[
a^4 + b^4 = (-1)^2 - 2 \cdot 1^2 = 1 - 2 = -1
\]

### Tính \( a^5 + b^5 \)

Sử dụng công thức:

\[
a^5 + b^5 = (a + b)(a^4 + b^4) - ab(a^3 + b^3)
\]

Ta có:

\[
a^5 + b^5 = 1 \cdot (-1) - 1 \cdot (-2) = -1 + 2 = 1
\]

### Tính \( a^6 + b^6 \)

Sử dụng công thức:

\[
a^6 + b^6 = (a^2 + b^2)(a^4 + b^4) - (ab)(a^3 + b^3)
\]

Ta có:

\[
a^6 + b^6 = (-1)(-1) - 1 \cdot (-2) = 1 + 2 = 3
\]

### Kết quả

Tóm lại, các giá trị là:

- \( a^2 + b^2 = -1 \)
- \( a^3 + b^3 = -2 \)
- \( a^4 + b^4 = -1 \)
- \( a^5 + b^5 = 1 \)
- \( a^6 + b^6 = 3 \)