Giải phương trình:

Để giải các phương trình trong hình ảnh, chúng ta sẽ giải từng phương trình một cách chi tiết.

### Phương trình 1:
\[ \frac{1 - x}{x + 1} + 3 = \frac{2x + 3}{x + 1} \]

Đầu tiên, ta đưa tất cả các phân số về cùng mẫu số:
\[ \frac{1 - x}{x + 1} + \frac{3(x + 1)}{x + 1} = \frac{2x + 3}{x + 1} \]

Kết hợp các phân số lại:
\[ \frac{1 - x + 3(x + 1)}{x + 1} = \frac{2x + 3}{x + 1} \]

Rút gọn tử số:
\[ \frac{1 - x + 3x + 3}{x + 1} = \frac{2x + 3}{x + 1} \]
\[ \frac{1 + 2x + 3}{x + 1} = \frac{2x + 3}{x + 1} \]
\[ \frac{2x + 4}{x + 1} = \frac{2x + 3}{x + 1} \]

Vì mẫu số giống nhau, ta có:
\[ 2x + 4 = 2x + 3 \]

Giải phương trình:
\[ 4 = 3 \]

Điều này là vô lý, do đó phương trình này vô nghiệm.

### Phương trình 2:
\[ \frac{2x + 1}{x - 1} = \frac{5(x - 1)}{x + 1} \]

Nhân chéo:
\[ (2x + 1)(x + 1) = 5(x - 1)^2 \]

Khai triển:
\[ 2x^2 + 2x + x + 1 = 5(x^2 - 2x + 1) \]
\[ 2x^2 + 3x + 1 = 5x^2 - 10x + 5 \]

Chuyển tất cả về một vế:
\[ 2x^2 + 3x + 1 - 5x^2 + 10x - 5 = 0 \]
\[ -3x^2 + 13x - 4 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
\[ a = -3, b = 13, c = -4 \]
\[ x = \frac{-13 \pm \sqrt{13^2 - 4(-3)(-4)}}{2(-3)} \]
\[ x = \frac{-13 \pm \sqrt{169 - 48}}{-6} \]
\[ x = \frac{-13 \pm \sqrt{121}}{-6} \]
\[ x = \frac{-13 \pm 11}{-6} \]

Hai nghiệm:
\[ x = \frac{-13 + 11}{-6} = \frac{-2}{-6} = \frac{1}{3} \]
\[ x = \frac{-13 - 11}{-6} = \frac{-24}{-6} = 4 \]

Vậy nghiệm của phương trình là \( x = \frac{1}{3} \) và \( x = 4 \).

### Phương trình 3:
\[ \frac{2x + 1}{x + 1} + \frac{2}{x} = \frac{2}{x(x + 1)} \]

Nhân cả hai vế với \( x(x + 1) \):
\[ (2x + 1)x + 2(x + 1) = 2 \]
\[ 2x^2 + x + 2x + 2 = 2 \]
\[ 2x^2 + 3x + 2 = 2 \]

Chuyển tất cả về một vế:
\[ 2x^2 + 3x = 0 \]
\[ x(2x + 3) = 0 \]

Hai nghiệm:
\[ x = 0 \]
\[ 2x + 3 = 0 \]
\[ x = -\frac{3}{2} \]

Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 0 \) và \( x = -\frac{3}{2} \).

### Phương trình 4:
\[ \frac{x - 3}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 4} = -1 \]

Nhân cả hai vế với \( (x - 2)(x - 4) \):
\[ (x - 3)(x - 4) + (x - 2)(x - 2) = -(x - 2)(x - 4) \]

Khai triển:
\[ x^2 - 7x + 12 + x^2 - 4x + 4 = -x^2 + 6x - 8 \]
\[ 2x^2 - 11x + 16 = -x^2 + 6x - 8 \]

Chuyển tất cả về một vế:
\[ 2x^2 - 11x + 16 + x^2 - 6x + 8 = 0 \]
\[ 3x^2 - 17x + 24 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
\[ a = 3, b = -17, c = 24 \]
\[ x = \frac{17 \pm \sqrt{17^2 - 4(3)(24)}}{2(3)} \]
\[ x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 288}}{6} \]
\[ x = \frac{17 \pm 1}{6} \]

Hai nghiệm:
\[ x = \frac{17 + 1}{6} = 3 \]
\[ x = \frac{17 - 1}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} \]

Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 3 \) và \( x = \frac{8}{3} \).

### Phương trình 5:
\[ \frac{x}{x + 6} + \frac{3}{x - 8} = \frac{-12x + 33}{(x + 6)(x - 8)} \]

Nhân cả hai vế với \( (x + 6)(x - 8) \):
\[ x(x - 8) + 3(x + 6) = -12x + 33 \]
\[ x^2 - 8x + 3x + 18 = -12x + 33 \]
\[ x^2 - 5x + 18 = -12x + 33 \]

Chuyển tất cả về một vế:
\[ x^2 - 5x + 18 + 12x - 33 = 0 \]
\[ x^2 + 7x - 15 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
\[ a = 1, b = 7, c = -15 \]
\[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4(1)(-15)}}{2(1)} \]
\[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 60}}{2} \]
\[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{109}}{2} \]

Hai nghiệm:
\[ x = \frac{-7 + \sqrt{109}}{2} \]
\[ x = \frac{-7 - \sqrt{109}}{2} \]

### Phương trình 6:
\[ \frac{2x + 1}{x - 1} + \frac{2x - 1}{x + 1} = \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 1} \]

Nhân cả hai vế với \( (x - 1)(x + 1) \):
\[ (2x + 1)(x + 1) + (2x - 1)(x - 1) = x^2 - 3x + 2 \]
\[ 2x^2 + 2x + x + 1 + 2x^2 - 2x - x + 1 = x^2 - 3x + 2 \]
\[ 4x^2 + 2 = x^2 - 3x + 2 \]

Chuyển tất cả về một vế:
\[ 4x^2 - x^2 + 3x = 0 \]
\[ 3x^2 + 3x = 0 \]
\[ 3x(x + 1) = 0 \]

Hai nghiệm:
\[ x = 0 \]
\[ x = -1 \]

Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 0 \) và \( x = -1 \).

### Phương trình 7:
\[ \frac{x}{x + 6} + \frac{3}{x - 8} = \frac{-12x + 33}{(x + 6)(x - 8)} \]

Nhân cả hai vế với \( (x + 6)(x - 8) \):
\[ x(x - 8) + 3(x + 6) = -12x + 33 \]
\[ x^2 - 8x + 3x + 18 = -12x + 33 \]
\[ x^2 - 5x + 18 = -12x + 33 \]

Chuyển tất cả về một vế:
\[ x^2 - 5x + 18 + 12x - 33 = 0 \]
\[ x^2 + 7x - 15 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
\[ a = 1, b = 7, c = -15 \]
\[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4(1)(-15)}}{2(1)} \]
\[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 60}}{2} \]
\[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{109}}{2} \]

Hai nghiệm:
\[ x = \frac{-7 + \sqrt{109}}{2} \]
\[ x = \frac{-7 - \sqrt{109}}{2} \]

### Phương trình 8:
\[ \frac{2x + 1}{x - 1} + \frac{2x - 1}{x + 1} = \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 1} \]

Nhân cả hai vế với \( (x - 1)(x + 1) \):
\[ (2x + 1)(x + 1) + (2x - 1)(x - 1) = x^2 - 3x + 2 \]
\[ 2x^2 + 2x + x + 1 + 2x^2 - 2x - x + 1 = x^2 - 3x + 2 \]
\[ 4x^2 + 2 = x^2 - 3x + 2 \]

Chuyển tất cả về một vế:
\[ 4x^2 - x^2 + 3x = 0 \]
\[ 3x^2 + 3x = 0 \]
\[ 3x(x + 1) = 0 \]

Hai nghiệm:
\[ x = 0 \]
\[ x = -1 \]

Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 0 \) và \( x = -1 \).