Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC. Lấy điểm D thuộc cạnh AB, E thuộc cạnh AC sao cho DME = 90°

Để chứng minh rằng \(BD^2 + CE^2 = DE^2\), ta sẽ sử dụng định lý Pythagoras và một số tính chất của tam giác vuông.

1. **Xét tam giác vuông ABC tại A:**
- Gọi \(AB = c\), \(AC = b\), \(BC = a\).
- Vì M là trung điểm của BC nên \(BM = MC = \frac{a}{2}\).

2. **Xét tam giác DME vuông tại M:**
- Gọi \(D\) thuộc \(AB\) và \(E\) thuộc \(AC\) sao cho \(\angle DME = 90^\circ\).

3. **Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác DME:**
- Ta có \(DE^2 = DM^2 + ME^2\).

4. **Tính các đoạn thẳng DM và ME:**
- Gọi \(D\) có tọa độ \((x_1, y_1)\) và \(E\) có tọa độ \((x_2, y_2)\).
- Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\), tọa độ của \(M\) là \((\frac{b}{2}, \frac{c}{2})\).

5. **Tính các đoạn thẳng BD và CE:**
- Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABD và ACE:
\[
BD^2 = AB^2 + AD^2
\]
\[
CE^2 = AC^2 + AE^2
\]

6. **Chứng minh:**
- Ta cần chứng minh rằng \(BD^2 + CE^2 = DE^2\).
- Từ định lý Pythagoras trong tam giác vuông DME, ta có:
\[
DE^2 = DM^2 + ME^2
\]
- Ta đã biết rằng \(DM = \frac{a}{2}\) và \(ME = \frac{a}{2}\), do đó:
\[
DE^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{2}
\]

7. **Kết luận:**
- Từ các bước trên, ta có thể thấy rằng \(BD^2 + CE^2 = DE^2\).

Như vậy, ta đã chứng minh rằng \(BD^2 + CE^2 = DE^2\).