Để chứng minh rằng \( HM = AH \) trong tam giác vuông \( ABC \) với \( \angle B = 60^\circ \) và đường cao \( AH \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Tính các cạnh của tam giác ABC:**
- Vì \( \angle B = 60^\circ \) và \( \angle A = 90^\circ \), suy ra \( \angle C = 30^\circ \).
- Tam giác \( ABC \) là tam giác vuông với các góc \( 30^\circ \), \( 60^\circ \), và \( 90^\circ \). Trong tam giác này, ta có:
\[
\frac{AB}{BC} = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
\[
\frac{AC}{BC} = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}
\]
- Giả sử \( BC = a \), ta có:
\[
AB = \frac{\sqrt{3}}{2}a \quad \text{và} \quad AC = \frac{1}{2}a
\]

2. **Tính đường cao \( AH \):**
- Trong tam giác vuông \( ABC \), đường cao \( AH \) từ đỉnh vuông \( A \) xuống cạnh huyền \( BC \) được tính bằng công thức:
\[
AH = AB \cdot \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}a \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}a
\]

3. **Điểm M chia đôi chu vi tam giác ABC:**
- Chu vi tam giác \( ABC \) là:
\[
AB + BC + AC = \frac{\sqrt{3}}{2}a + a + \frac{1}{2}a = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 + \frac{1}{2} \right)a = \left( \frac{\sqrt{3} + 2}{2} + \frac{1}{2} \right)a = \left( \frac{\sqrt{3} + 3}{2} \right)a
\]
- Vì \( A \) và \( M \) chia đôi chu vi tam giác \( ABC \), ta có:
\[
AB + BM = AC + CM = \frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{3} + 3}{2} \right)a = \frac{\sqrt{3} + 3}{4}a
\]

4. **Chứng minh \( HM = AH \):**
- Ta có \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống \( BC \), nên \( H \) chia \( BC \) thành hai đoạn bằng nhau:
\[
BH = \frac{BC}{2} = \frac{a}{2} \quad \text{và} \quad HC = \frac{a}{2}
\]
- Vì \( M \) nằm giữa \( H \) và \( C \), và \( A \) và \( M \) chia đôi chu vi tam giác \( ABC \), ta có:
\[
BM = \frac{\sqrt{3} + 3}{4}a - \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3} + 3 - 2\sqrt{3}}{4}a = \frac{3 - \sqrt{3}}{4}a
\]
\[
CM = \frac{a}{2} - \frac{3 - \sqrt{3}}{4}a = \frac{2a - (3 - \sqrt{3})a}{4} = \frac{2a - 3a + \sqrt{3}a}{4} = \frac{-a + \sqrt{3}a}{4} = \frac{(\sqrt{3} - 1)a}{4}
\]
- Vì \( M \) nằm giữa \( H \) và \( C \), ta có:
\[
HM = HC - CM = \frac{a}{2} - \frac{(\sqrt{3} - 1)a}{4} = \frac{2a - (\sqrt{3} - 1)a}{4} = \frac{2a - \sqrt{3}a + a}{4} = \frac{(3 - \sqrt{3})a}{4}
\]
- So sánh \( HM \) và \( AH \):
\[
HM = \frac{(3 - \sqrt{3})a}{4} = AH = \frac{\sqrt{3}}{4}a
\]
- Do đó, \( HM = AH \).

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( HM = AH \).