Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ phân tích từng phần một.

### a) Chứng minh tam giác OPC và OBD là tam giác cân.

1. **Tam giác OPC**:
- Ta có \( OP = OC \) (theo giả thiết).
- Do đó, tam giác \( OPC \) có hai cạnh \( OP \) và \( OC \) bằng nhau.
- Vậy, tam giác \( OPC \) là tam giác cân.

2. **Tam giác OBD**:
- Ta có \( OD = OB \) (theo giả thiết).
- Do đó, tam giác \( OBD \) cũng có hai cạnh \( OD \) và \( OB \) bằng nhau.
- Vậy, tam giác \( OBD \) là tam giác cân.

### b) Chứng minh \( PC \parallel BD \).

Để chứng minh \( PC \parallel BD \), ta sẽ sử dụng tính chất của các tam giác cân và các góc.

1. **Xét tam giác \( OPC \)**:
- Vì \( OPC \) là tam giác cân tại \( O \), nên góc \( OCP = OCP \) (góc đối diện với cạnh bằng nhau).
- Gọi \( \alpha = \angle OCP \).

2. **Xét tam giác \( OBD \)**:
- Tương tự, vì \( OBD \) là tam giác cân tại \( O \), nên góc \( ODB = OBD \) (góc đối diện với cạnh bằng nhau).
- Gọi \( \beta = \angle OBD \).

3. **Xét các góc tại điểm E**:
- Khi \( PD \) cắt \( CB \) tại \( E \), ta có:
- \( \angle OCE = \angle ODB \) (góc so le trong).
- \( \angle OEP = \angle OBD \) (góc so le trong).

4. **Sử dụng tính chất của các góc**:
- Ta có \( \alpha = \angle OCP \) và \( \beta = \angle OBD \).
- Vì \( OP < OB \) nên \( \angle OCP < \angle OBD \) (góc nhọn).
- Do đó, \( \angle OCE + \angle OEP = 180^\circ \) (góc kề bù).

5. **Kết luận**:
- Từ đó, ta có \( PC \parallel BD \) theo định lý góc đồng vị.

Vậy ta đã chứng minh được rằng \( PC \parallel BD \).

### Kết luận:
- Tam giác \( OPC \) và \( OBD \) là tam giác cân.
- \( PC \parallel BD \).