Một mái che giếng trời có dạng hình chóp tứ giác đều với độ dài cạnh đáy là 2,5m và độ dài trung đoạn là 2m

1) Một mái che giếng trời có dạng hình chóp tứ giác đều với độ dài cạnh đáy là 2,5m và độ dài trung đoạn là 2m.

a) Tính diện tích xung quanh của mái che giếng trời đó.

Để tính diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều, ta cần tính diện tích của 4 tam giác đều tạo thành các mặt bên của hình chóp.

- Độ dài cạnh đáy của mỗi tam giác là 2,5m.
- Độ dài trung đoạn (đường cao từ đỉnh xuống cạnh đáy) là 2m.

Diện tích của một tam giác đều có cạnh đáy là \(a\) và chiều cao là \(h\) được tính bằng công thức:
\[ S = \frac{1}{2} \times a \times h \]

Với \(a = 2,5m\) và \(h = 2m\):
\[ S = \frac{1}{2} \times 2,5 \times 2 = 2,5 \, m^2 \]

Vì hình chóp có 4 mặt tam giác đều, diện tích xung quanh của mái che giếng trời là:
\[ S_{xq} = 4 \times 2,5 = 10 \, m^2 \]

b) Tính số tiền để làm mái che giếng trời đó. Biết rằng giá để làm mỗi mét vuông mái che là 2.000.000 đồng (bao gồm tiền vật liệu và tiền công).

Số tiền để làm mái che giếng trời được tính bằng cách nhân diện tích xung quanh với giá tiền trên mỗi mét vuông:
\[ \text{Số tiền} = S_{xq} \times \text{giá tiền trên mỗi mét vuông} \]
\[ \text{Số tiền} = 10 \, m^2 \times 2.000.000 \, \text{đồng/m}^2 = 20.000.000 \, \text{đồng} \]

2) Cho hình bình hành \(ABCD\). Qua điểm \(A\) ta kẻ một đường thẳng cắt \(BD, DC, BC\) lần lượt tại \(E, G, F\). Chứng minh rằng:

a) Tam giác \(DAE\) đồng dạng với tam giác \(BFE\).

- Xét hai tam giác \(DAE\) và \(BFE\):
- \(\angle DAE = \angle BFE\) (cùng là góc đối đỉnh).
- \(\angle ADE = \angle BFE\) (cùng là góc nội tiếp chắn cung \(DE\)).

Vậy, tam giác \(DAE\) đồng dạng với tam giác \(BFE\) theo trường hợp góc-góc (AA).

b) \(AB \cdot AG = AF \cdot DG\).

- Xét tam giác \(ABG\) và tam giác \(AFD\):
- \(\angle BAG = \angle DAF\) (cùng là góc đối đỉnh).
- \(\angle ABG = \angle AFD\) (cùng là góc nội tiếp chắn cung \(BG\)).

Vậy, tam giác \(ABG\) đồng dạng với tam giác \(AFD\) theo trường hợp góc-góc (AA).

Do đó, ta có:
\[ \frac{AB}{AF} = \frac{AG}{DG} \]
\[ \Rightarrow AB \cdot DG = AF \cdot AG \]

c) \(AE^2 = EF \cdot EG\).

- Xét tam giác \(AEF\) và tam giác \(AEG\):
- \(\angle AEF = \angle AEG\) (cùng là góc đối đỉnh).
- \(\angle AFE = \angle AGE\) (cùng là góc nội tiếp chắn cung \(FE\)).

Vậy, tam giác \(AEF\) đồng dạng với tam giác \(AEG\) theo trường hợp góc-góc (AA).

Do đó, ta có:
\[ \frac{AE}{EF} = \frac{AE}{EG} \]
\[ \Rightarrow AE^2 = EF \cdot EG \]

d) Tích \(BF \cdot DG\) không đổi.

- Xét tam giác \(BFD\) và tam giác \(DGF\):
- \(\angle BFD = \angle DGF\) (cùng là góc đối đỉnh).
- \(\angle BDF = \angle DGF\) (cùng là góc nội tiếp chắn cung \(DF\)).

Vậy, tam giác \(BFD\) đồng dạng với tam giác \(DGF\) theo trường hợp góc-góc (AA).

Do đó, ta có:
\[ \frac{BF}{DG} = \frac{BD}{DF} \]
\[ \Rightarrow BF \cdot DG = BD \cdot DF \]

Vì \(BD\) và \(DF\) là các đoạn thẳng cố định, nên tích \(BF \cdot DG\) không đổi.