Để giải quyết bài toán này, ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần a, b và c.

**Phần a:**
Tìm giao điểm I của AM với (SBD) và tính \(\frac{IA}{IM}\).

1. Gọi I là giao điểm của AM với mặt phẳng (SBD).
2. Vì M là trung điểm của SC, nên AM là đường trung tuyến của tam giác SAC.
3. Trong tam giác SAC, AM cắt BD tại I, mà BD là đường chéo của hình bình hành ABCD.
4. Do đó, I là trung điểm của AM.

Vậy \(\frac{IA}{IM} = 2\).

**Phần b:**
Gọi N là trung điểm của AB. Tìm giao điểm E của MN với (SBD). Chứng minh: EM = EN.

1. Vì N là trung điểm của AB, nên MN là đường trung tuyến của tam giác MAB.
2. Trong tam giác MAB, MN cắt BD tại E, mà BD là đường chéo của hình bình hành ABCD.
3. Do đó, E là trung điểm của MN.

Vậy EM = EN.

**Phần c:**
Tìm giao điểm của SD với (ABM).

1. Gọi P là giao điểm của SD với mặt phẳng (ABM).
2. Trong tam giác SAB, SD cắt AB tại P.
3. Vì AB là đường chéo của hình bình hành ABCD, nên P là giao điểm của SD với AB.

Vậy giao điểm của SD với (ABM) là P.

Tóm lại:
a. Giao điểm I của AM với (SBD) là trung điểm của AM và \(\frac{IA}{IM} = 2\).
b. Giao điểm E của MN với (SBD) là trung điểm của MN và EM = EN.
c. Giao điểm của SD với (ABM) là P.