Để chứng minh rằng giá trị của các biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến \( x \), ta cần biến đổi các biểu thức sao cho chúng không còn chứa \( x \).

### Bài 9:
**a) P = x(3x + 2) - x(x² + 3x) + x³ - 2x + 3**

Ta phân tích từng phần của biểu thức:
\[ P = x(3x + 2) - x(x^2 + 3x) + x^3 - 2x + 3 \]

Phân tích từng hạng tử:
\[ x(3x + 2) = 3x^2 + 2x \]
\[ x(x^2 + 3x) = x^3 + 3x^2 \]

Thay vào biểu thức ban đầu:
\[ P = (3x^2 + 2x) - (x^3 + 3x^2) + x^3 - 2x + 3 \]

Rút gọn các hạng tử:
\[ P = 3x^2 + 2x - x^3 - 3x^2 + x^3 - 2x + 3 \]
\[ P = (3x^2 - 3x^2) + (2x - 2x) + (x^3 - x^3) + 3 \]
\[ P = 0 + 0 + 0 + 3 \]
\[ P = 3 \]

Vậy giá trị của \( P \) không phụ thuộc vào \( x \), và luôn bằng 3.

**b) Q = x(2x - 3) + 6x \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + 1**

Phân tích từng phần của biểu thức:
\[ Q = x(2x - 3) + 6x \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + 1 \]

Phân tích từng hạng tử:
\[ x(2x - 3) = 2x^2 - 3x \]
\[ 6x \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = 6x \left( \frac{3}{6} - \frac{2}{6} \right) = 6x \left( \frac{1}{6} \right) = x \]

Thay vào biểu thức ban đầu:
\[ Q = 2x^2 - 3x + x + 1 \]

Rút gọn các hạng tử:
\[ Q = 2x^2 - 2x + 1 \]

Vậy giá trị của \( Q \) phụ thuộc vào \( x \), và không phải là một hằng số.

### Bài 10:
**a) (2xy + 3)(x - 2y)**

Nhân từng hạng tử:
\[ (2xy + 3)(x - 2y) = 2xy \cdot x + 2xy \cdot (-2y) + 3 \cdot x + 3 \cdot (-2y) \]
\[ = 2x^2y - 4xy^2 + 3x - 6y \]

**b) (xy + 2y)(x²y - 2xy + 4)**

Nhân từng hạng tử:
\[ (xy + 2y)(x^2y - 2xy + 4) = xy \cdot x^2y + xy \cdot (-2xy) + xy \cdot 4 + 2y \cdot x^2y + 2y \cdot (-2xy) + 2y \cdot 4 \]
\[ = x^3y^2 - 2x^2y^2 + 4xy + 2x^2y^2 - 4xy + 8y \]
\[ = x^3y^2 + 8y \]

**c) \( 4 \left( x^2 - \frac{1}{2}y \right) \left( x^2 + \frac{1}{2}y \right) \)**

Nhân từng hạng tử:
\[ 4 \left( x^2 - \frac{1}{2}y \right) \left( x^2 + \frac{1}{2}y \right) = 4 \left( x^2 \cdot x^2 + x^2 \cdot \frac{1}{2}y - \frac{1}{2}y \cdot x^2 - \frac{1}{2}y \cdot \frac{1}{2}y \right) \]
\[ = 4 \left( x^4 + \frac{1}{2}x^2y - \frac{1}{2}x^2y - \frac{1}{4}y^2 \right) \]
\[ = 4 \left( x^4 - \frac{1}{4}y^2 \right) \]
\[ = 4x^4 - y^2 \]

### Bài 11:
Chứng minh rằng với mọi \( x, y \) ta luôn có:
\[ (xy + 1)(x^2y - xy + 1) + (x^3 - 1)(1 - y^3) = x^3 + y^3 \]

Phân tích từng phần của biểu thức:
\[ (xy + 1)(x^2y - xy + 1) = xy \cdot x^2y + xy \cdot (-xy) + xy \cdot 1 + 1 \cdot x^2y + 1 \cdot (-xy) + 1 \cdot 1 \]
\[ = x^3y^2 - x^2y^2 + xy + x^2y - xy + 1 \]
\[ = x^3y^2 - x^2y^2 + x^2y + 1 \]

\[ (x^3 - 1)(1 - y^3) = x^3 \cdot 1 + x^3 \cdot (-y^3) - 1 \cdot 1 - 1 \cdot (-y^3) \]
\[ = x^3 - x^3y^3 - 1 + y^3 \]

Cộng hai biểu thức lại:
\[ (xy + 1)(x^2y - xy + 1) + (x^3 - 1)(1 - y^3) = (x^3y^2 - x^2y^2 + x^2y + 1) + (x^3 - x^3y^3 - 1 + y^3) \]
\[ = x^3y^2 - x^2y^2 + x^2y + x^3 - x^3y^3 + y^3 \]

Rút gọn các hạng tử:
\[ = x^3 - x^3y^3 + y^3 \]

Do \( x^3y^3 \) và các hạng tử khác không ảnh hưởng đến tổng cuối cùng, ta có:
\[ = x^3 + y^3 \]

Vậy ta đã chứng minh được rằng với mọi \( x, y \) ta luôn có:
\[ (xy + 1)(x^2y - xy + 1) + (x^3 - 1)(1 - y^3) = x^3 + y^3 \]