Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của các biểu thức đã cho, ta sẽ phân tích từng biểu thức một.

### A. \( A = x^2 + 2024 \)
- Biểu thức này là một hàm bậc hai có dạng \( ax^2 + b \) với \( a > 0 \).
- GTNN xảy ra tại \( x = 0 \):
\[
A(0) = 0^2 + 2024 = 2024
\]

### B. \( B = (x - 5)^2 - 2000 \)
- Đây cũng là một hàm bậc hai. GTNN xảy ra tại \( x = 5 \):
\[
B(5) = (5 - 5)^2 - 2000 = -2000
\]

### C. \( C = x^3 + 4x - 13 \)
- Để tìm GTNN, ta cần tính đạo hàm và giải phương trình \( C' = 0 \):
\[
C' = 3x^2 + 4
\]
- Vì \( 3x^2 + 4 > 0 \) với mọi \( x \), nên hàm này không có cực trị và GTNN xảy ra tại \( x \to -\infty \).

### D. \( D = 4x^2 + 12x - 5 \)
- Đạo hàm:
\[
D' = 8x + 12
\]
- Giải \( D' = 0 \) cho \( x = -\frac{3}{2} \):
\[
D\left(-\frac{3}{2}\right) = 4\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 12\left(-\frac{3}{2}\right) - 5 = -\frac{49}{4}
\]

### E. \( E = x^2 + 3x + 3 \)
- Đạo hàm:
\[
E' = 2x + 3
\]
- Giải \( E' = 0 \) cho \( x = -\frac{3}{2} \):
\[
E\left(-\frac{3}{2}\right) = \left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 3\left(-\frac{3}{2}\right) + 3 = \frac{3}{4}
\]

### F. \( F = 4x^3 + 6x + 5 \)
- Đạo hàm:
\[
F' = 12x^2 + 6
\]
- Vì \( 12x^2 + 6 > 0 \) với mọi \( x \), nên GTNN xảy ra tại \( x \to -\infty \).

### G. \( G = 2x^2 + 3x - 4 \)
- Đạo hàm:
\[
G' = 4x + 3
\]
- Giải \( G' = 0 \) cho \( x = -\frac{3}{4} \):
\[
G\left(-\frac{3}{4}\right) = 2\left(-\frac{3}{4}\right)^2 + 3\left(-\frac{3}{4}\right) - 4 = -\frac{37}{8}
\]

### Tóm tắt GTNN:
- \( A: 2024 \)
- \( B: -2000 \)
- \( C: -\infty \)
- \( D: -\frac{49}{4} \)
- \( E: \frac{3}{4} \)
- \( F: -\infty \)
- \( G: -\frac{37}{8} \)

Biểu thức có GTNN nhỏ nhất là \( B = -2000 \).