Để tìm tỉ số diện tích của hai tam giác \( AMN \) và \( ABC \), ta có thể sử dụng các tỉ lệ của các đoạn thẳng mà chúng ta đã đưa ra.

Gọi:
- Điểm \( A \) có tọa độ \( A(0,0) \)
- Điểm \( B \) có tọa độ \( B(b_1, b_2) \)
- Điểm \( C \) có tọa độ \( C(c_1, c_2) \)

Từ đề bài, ta có:
- Điểm \( M \) nằm trên đoạn \( AB \) sao cho \( AM = 2MB \). Điều này có thể diễn đạt tỉ lệ đoạn \( AM : MB = 2 : 1 \). Do đó, tỉ lệ này cho chúng ta biết rằng \( M \) chia đoạn \( AB \) thành 3 phần, với \( AM = \frac{2}{3} AB \) và \( MB = \frac{1}{3} AB \).

Ta có thể tính tọa độ của điểm \( M \) bằng công thức chia đoạn:
\[
M = \left( \frac{2b_1 + 1 \cdot 0}{3}, \frac{2b_2 + 1 \cdot 0}{3} \right) = \left( \frac{2b_1}{3}, \frac{2b_2}{3} \right)
\]

Tương tự, đối với điểm \( N \) trên đoạn \( AC \) với tỉ lệ \( AN : NC = 2 : 1 \):
\[
N = \left( \frac{2c_1 + 1 \cdot 0}{3}, \frac{2c_2 + 1 \cdot 0}{3} \right) = \left( \frac{2c_1}{3}, \frac{2c_2}{3} \right)
\]

Bây giờ, để tính diện tích của 2 tam giác \( AMN \) và \( ABC \), ta sử dụng công thức tính diện tích tam giác dựa trên tọa độ:
\[
S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|
\]

Đầu tiên, tính diện tích tam giác \( ABC \):
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| 0(b_2 - c_2) + b_1(c_2 - 0) + c_1(0 - b_2) \right| = \frac{1}{2} \left| b_1c_2 - c_1b_2 \right|
\]

Tiếp theo, diện tích tam giác \( AMN \):
\[
S_{AMN} = \frac{1}{2} \left| 0\left(\frac{2b_2}{3} - \frac{2c_2}{3}\right) + \frac{2b_1}{3}\left(\frac{2c_2}{3} - 0\right) + \frac{2c_1}{3}\left(0 - \frac{2b_2}{3}\right) \right|
\]
\[
= \frac{1}{2} \left| \frac{2b_1}{3} \cdot \frac{2c_2}{3} - \frac{2c_1}{3} \cdot \frac{2b_2}{3} \right| = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{9} \left| b_1c_2 - c_1b_2 \right| = \frac{2}{9} \left| b_1c_2 - c_1b_2 \right|
\]

Bây giờ, tính tỉ số diện tích:
\[
\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{2}{9} \left| b_1c_2 - c_1b_2 \right|}{\frac{1}{2} \left| b_1c_2 - c_1b_2 \right|} = \frac{\frac{2}{9}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{9} \cdot 2 = \frac{4}{9}
\]

Vậy, tỉ số diện tích của tam giác \( AMN \) và \( ABC \) là:
\[
\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \frac{4}{9}
\]