Tìm GTLN của các phân thức sau:

Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của các phân thức đã cho, ta sẽ phân tích từng phân thức:

1. **Phân thức A**:
\[
A = \frac{2}{x^2 + 8}
\]
- Biểu thức \(x^2 + 8\) luôn dương và có GTLN khi \(x^2\) nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất của \(x^2\) là 0, do đó \(A\) đạt GTLN tại \(x=0\):
\[
A_{max} = \frac{2}{0 + 8} = \frac{1}{4}
\]

2. **Phân thức B**:
\[
B = \frac{5}{x^2 + 2x + 2}
\]
- Để tìm GTLN của \(B\), ta cần tìm GTNN của \(x^2 + 2x + 2\). Phân tích:
\[
x^2 + 2x + 2 = (x + 1)^2 + 1
\]
- Biểu thức này có giá trị nhỏ nhất là 1 khi \(x = -1\). Do đó:
\[
B_{max} = \frac{5}{1} = 5
\]

3. **Phân thức C**:
\[
C = \frac{10}{4x^2 + 8x + 5}
\]
- Tương tự, tìm GTNN của \(4x^2 + 8x + 5\):
\[
4x^2 + 8x + 5 = 4\left(x^2 + 2x + \frac{5}{4}\right)
\]
- Giá trị nhỏ nhất tại \(x = -1\):
\[
C_{max} = \frac{10}{4 \cdot 1} = \frac{10}{4} = 2.5
\]

4. **Phân thức D**:
\[
D = \frac{x^2 + 5}{x^2 + 2}
\]
- Tìm GTLN của \(D\) bằng cách phân tích:
- Biểu thức \(x^2 + 2\) dương và tăng, vì thế trường hợp GTLN xảy ra khi tử số lớn nhất:
\[
D \text{ đạt được khi } x \rightarrow \infty \text{ hay } x \rightarrow -\infty
\]
- Tiến tới giá trị 1 khi x đủ lớn.

**Tóm tắt GTLN các phân thức**:
- \(A_{max} = \frac{1}{4}\)
- \(B_{max} = 5\)
- \(C_{max} = 2.5\)
- \(D_{max} = 1\)

Các GTLN lần lượt là \(\frac{1}{4}, 5, 2.5, 1\).