Để chứng minh rằng \( ab(a^2 - b^2)(a^2 + b^2) \) chia hết cho 30 với \( a, b \in \mathbb{Z} \), ta cần chứng minh rằng biểu thức này chia hết cho 2, 3 và 5, vì \( 30 = 2 \times 3 \times 5 \).

### 1. Chứng minh chia hết cho 2

- Nếu \( a \) hoặc \( b \) là số chẵn thì \( ab \) là số chẵn. Vậy \( ab \) chia hết cho 2.

- Nếu cả \( a \) và \( b \) đều là số lẻ, thì \( a^2 \equiv 1 \mod 2 \) và \( b^2 \equiv 1 \mod 2 \) nên \( a^2 - b^2 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \mod 2 \). Do đó, \( a^2 - b^2 \) chia hết cho 2.

Như vậy, trong cả hai trường hợp, \( ab(a^2 - b^2) \) đều chia hết cho 2.

### 2. Chứng minh chia hết cho 3

- Xét hai trường hợp:
- Nếu \( a \equiv 0 \mod 3 \) hay \( b \equiv 0 \mod 3 \), thì \( ab \equiv 0 \mod 3 \).
- Nếu cả \( a \) và \( b \) đều khác 0 mod 3, thì \( a \equiv 1 \) hoặc \( 2 \mod 3 \) và tương tự cho \( b \):
- Nếu \( a \equiv 1 \mod 3 \) và \( b \equiv 2 \mod 3 \), thì \( a^2 \equiv 1 \mod 3 \) và \( b^2 \equiv 1 \mod 3 \), nên \( a^2 - b^2 \equiv 0 \mod 3 \).
- Nếu \( a \equiv 2 \mod 3 \) và \( b \equiv 1 \mod 3 \), tương tự \( a^2 - b^2 \equiv 0 \mod 3 \).

Dễ dàng thấy, \( a^2 + b^2 \) cũng sẽ cho kết quả có thể chia hết cho 3. Như vậy, trong các trường hợp này, \( ab(a^2 - b^2) \) chứa ít nhất một thành phần chia hết cho 3.

### 3. Chứng minh chia hết cho 5

- Xét ba trường hợp cho \( ab \):
- Nếu \( a \equiv 0 \mod 5 \) hoặc \( b \equiv 0 \mod 5 \), thì \( ab \equiv 0 \mod 5 \).
- Nếu \( a \equiv 1, 2, 3, 4 \mod 5 \) và \( b \equiv 1, 2, 3, 4 \mod 5 \), thì:
- Trong các cặp khác nhau như (1,2), (1,4), … sẽ tạo ra các kết quả khác nhau cho \( a^2 - b^2 \) nhưng nếu xét cả \( a^2 + b^2 \), ta nhận thấy rằng ít nhất một trong các trường hợp trừ 0 (vì chúng tạo ra số chẵn).

Từ cả ba điều kiện trên, ta thấy rằng \( ab(a^2 - b^2)(a^2 + b^2) \) chia hết cho 30.

Kết luận, ta đã chứng minh rằng:
\[
ab(a^2 - b^2)(a^2 + b^2) \text{ chia hết cho } 30.
\]