Để chứng minh các phần của bài toán, ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học cơ bản về tam giác và các đường thẳng song song.

### a. Chứng minh tam giác ABC = tam giác DCB

Ta có đường thẳng qua B song song với AC, tức là \(\overline{BD} \parallel \overline{AC}\). Theo tính chất của các góc trong hai đường thẳng song song, ta có:

- \( \angle DBC = \angle CAB \) (góc đồng vị)
- \( \angle DCB = \angle BCA \) (góc đồng vị)

Vì \(AD\) cắt \(BC\) tại \(O\), nên \(AO\) và \(CO\) là dây cung giữa hai tam giác. Ta cũng nhận thấy \(OC\) và \(DA\) lần lượt là hai phía của tam giác DCB.

Từ đó, ta có:
\[
\Delta ABC \sim \Delta DCB
\]
Vì hai tam giác có hai cặp góc tương ứng bằng nhau. Do đó, ta kết luận rằng:
\[
\Delta ABC = \Delta DCB
\]


### b. Chứng minh OA = OD, OB = OC

Ta đã có rằng \(\Delta ABC \sim \Delta DCB\). Từ đây, theo tỉ lệ, ta có:
\[
\frac{OA}{OD} = \frac{OB}{OC}
\]
Vì \(O\) là giao điểm của \(AD\) và \(BC\), ta xét theo tỉ lệ này.

Chúng ta cần chứng minh rằng \(OA = OD\) và \(OB = OC\). Bằng cách áp dụng hệ quả của định lý đường chéo:
- Hình chiếu của hai tam giác là tương đương vì \(BD \parallel AC\) và \(CD \parallel AB\).

Vậy ta có
\[
OA = OD \quad \text{và} \quad OB = OC.
\]


### c. Chứng minh OI = OJ

Chúng ta có đường thẳng \(xy\) đi qua \(O\) cắt \(AB\) và \(CD\) lần lượt tại \(I\) và \(J\).

Vì \(O\) là điểm giao nhau của các đường thẳng, từ \(O\) hạ các đường thẳng \(OI\) và \(OJ\) đều giao nhau với các cạnh của tam giác ABC:
- Theo các tính chất tương ứng của đường thẳng (tương tự như ở phần trước), ta có rằng hai tam giác \(\Delta OAI\) và \(\Delta OCJ\) mà chúng đều có đáy tương ứng là \(AI\) và \(CJ\).

Vì \(OAI\) và \(OCJ\) đồng dạng, ta có
\[
OI = OJ
\]

Chúng ta kết luận rằng:
\[
OI = OJ
\]

Tóm lại, đã chứng minh xong các phần của bài toán đã cho.