Để tìm a và b cho hàm số \( f(x) = ax + b \) với điều kiện \( f(1) = 3 \) và \( f(2) = 5 \), ta sẽ lập hệ phương trình dựa trên những điều kiện này.

1. Từ \( f(1) = 3 \):
\[
a \cdot 1 + b = 3 \implies a + b = 3 \quad \text{(Phương trình 1)}
\]

2. Từ \( f(2) = 5 \):
\[
a \cdot 2 + b = 5 \implies 2a + b = 5 \quad \text{(Phương trình 2)}
\]

Bây giờ, ta có hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
a + b = 3 \\
2a + b = 5
\end{cases}
\]

Tiến hành giải hệ phương trình này:

- Trừ phương trình 1 khỏi phương trình 2:
\[
(2a + b) - (a + b) = 5 - 3
\]
\[
2a + b - a - b = 2 \implies a = 2
\]

- Thay \( a = 2 \) vào phương trình 1:
\[
2 + b = 3 \implies b = 1
\]

Vậy các giá trị của \( a \) và \( b \) là:
\[
a = 2, \quad b = 1
\]

Do đó, hàm số là:
\[
f(x) = 2x + 1
\]